几何
学习几何的笔记和一些个人思考。这里主要在记录各种结论，偶尔会抄一些证明方法。
对于 \(\mathbb{R}^3\) 空间中的三个向量 \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\)，其点乘和叉乘的存在如下的关系:
$$ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} & = & \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} \\ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} & = & - \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} \\ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) & = & (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} \\ \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) & = & (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} \end{array} $$欧拉公式: $$ \begin{array}{rcl} e^{i \theta} & = &\cos \theta + i \sin \theta \\ e^{i\pi} + 1 & = & 0 \end{array} $$
摄影几何与空间变换
| 2D射影空间中的点、直线和圆锥曲线 |
点\(\boldsymbol{x}\)在直线\(\boldsymbol{l}\)上有方程\(\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{l} = 0\)。在摄影空间\(\mathbb{P}^2\)中，点与线为对偶关系(dual)。 圆锥曲线可以用一个\(3 \times 3\)的对称矩阵写出，点\(\boldsymbol{x}\)在圆锥曲线\(C\)上有方程\(\boldsymbol{x}^T C \boldsymbol{x} = 0\)。
相关的实现参见代码: HomoPoint2.hpp, HomoLine2.hpp, HomoConic2.hpp |
| 2D射影空间中的各种变换 |
根据变换的各种不变特性，我们把它们分成了等距变换、相似变换、仿射变换和射影变换。 通过无穷远处\(\boldsymbol{l}_{\infty}\)的象，我们可以对射影变换进行仿射矫正。通过对偶圆锥曲线\(C_{\infty}^*\)的象，我们可以对射影变换或者仿射变换进行度量矫正。 具体的矫正方法和样例，将在后文中具体展开。 相关的实现参见代码: Projective2.hpp |
| 3D空间中的直线 | 。 |
| 3D几何空间和变换 | 。 |
计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design, CAGD)
在 CAGD 中，曲线多多采用一种被称为基表述的特殊矢函数的形式: $$ \boldsymbol{p}(u) = \underset{i = 0}{\overset{n}{\Sigma}} \boldsymbol{a_i} \varphi_i(u) $$ 其中，\(\varphi_i(u)\)被称为基函数，决定了曲线的整体性质；\(\boldsymbol{a_i}\)称为系数矢量。 曲面通常是曲线的推广。可以表示称双参数形式的矢函数: $$ \boldsymbol{p}(u, v) = \underset{i = 0}{\overset{m}{\Sigma}} \underset{j = 0}{\overset{n}{\Sigma}} \boldsymbol{a_{ij}} \varphi_i(u) \psi_j(v) $$ 其中，\(\varphi_i(u)\)和\(\psi_j(v)\)分别是以\(u,v\)为变量的两组基函数。\(\boldsymbol{a_{ij}}\)为系数矢量。
| CAGD中曲线的表述 | 考察空间中一个孤立的点是没有意义的，我们往往需要考虑定义若干个定义出形状特征的点的相对位置关系。 |
对于一个函数\(y = y(x)\)，若它在某一点\(x_0\)处具有相等的直到\(k\)阶的左右导数，则称它在\(x_0\)处是\(k\)次连续可微的，或者说是\(k\)阶连续的，记做\(C^k\)。 函数的连续阶越高，就越光滑。
NURBS
非均匀有理B样条(Non-Uniform Rationall B-Splines, NURBS)，已然是计算机图形用来描述、设计、交换数据的工业标准。很多国内和国际标准，比如 IGES、STEP、PHIGS都用NURBS描述几何特征。NURBS有如下的一些特征:
- NURBS提供了一种统一的数学描述形式，可以表达解析形式的二次曲线和曲面，也可以描述车体、船壳等自由形状。
- NURBS的设计很直观，基本上所有的工具和算法都可以很容易理解其几何内涵。
- NURBS算法那快，更重要的是它是数值稳定的。
- NURBS表示的曲线和曲面对于一般的几何变换（比如，旋转、平移、parallel and perspective）具有不变性。
- NURBS是非有理B样条(nonrational B-splines)和有理及非有理贝塞尔曲线曲面(rational and nonrational Bézier curves and surface)的泛化。
得益于其优异的数学特性，NURBS在工业场景中得到了广泛的应用，在CAD/CAM/CAE等领域扮演者极其重要的角色。
| 贝塞尔曲线和曲面 | 贝塞尔曲线和曲面通过控制点和 Bernstein 多项式描述曲线和曲面，具有变换不变性(平移、旋转、缩放)。 可以通过 deCasteljau 算法计算指定点的插值。 |
| B样条曲线和曲面 | B样条是一种分段表述曲线曲面的方法，它是 B-样条基函数的线性组合，是贝塞尔曲线曲面的一般化。 |