CAGD中曲线的表述

1. 曲线的矢函数

给定空间中两个点$\boldsymbol{p_0}, \boldsymbol{p_1}$，它们的连线可以看作是一个动点$\boldsymbol{p}$，从起点$\boldsymbol{p_0}$运动到终点$\boldsymbol{p_1}$扫过的轨迹。

矢量$\boldsymbol{p} - \boldsymbol{p_0}$与矢量$\boldsymbol{p_1} - \boldsymbol{p}$之间存在如下的比例关系，我们可以用一个关于参数$u \in [0, 1]$的函数来表示这个轨迹$\boldsymbol{p}(u)$。当 $u$ 从 0 连续变化到 1 时，所扫出来的轨迹就是连接$\boldsymbol{p_0}$和$\boldsymbol{p_1}$的直线段。

$$ \begin{align} \label{param_line} \frac{\boldsymbol{p} - \boldsymbol{p_0}}{\boldsymbol{p_1} - \boldsymbol{p}} & = \frac{u}{1 - u} , & u \in [0, 1] \\ \boldsymbol{p} - \boldsymbol{p_0} & = u (\boldsymbol{p_1} - \boldsymbol{p_0}) , & u \in [0, 1] \\ \boldsymbol{p}(u) & = \boldsymbol{p_0} + u (\boldsymbol{p_1} - \boldsymbol{p_0}) , & u \in [0, 1] \\ \boldsymbol{p}(u) & = (1 - u)\boldsymbol{p_0} + u \boldsymbol{p_1} , & u \in [0, 1] \\ \end{align} $$

上式中 $u$ 只有一次，所以我们称之为线性插值。在参数多项式中，可以定义高次的直线。如果有参数 $t \in [0, 1]$ 满足关系 $u = t^2$，那么上式就可以写出一个关于 $t$ 的二次多项式 $\boldsymbol{p}(t) = (1 - t^2)\boldsymbol{p_0} + t^2 \boldsymbol{p_1}$。

在笛卡尔坐标空间下，我们通常会用三个正交的分量来描述一个点的坐标，参照$(\ref{param_line})$的描述方式，我们可以分别将三个分量写成关于参数$u$的标量函数 $$ x = x(u), y = y(u), z = z(u) $$ 很多时候，我们可以将之写成列向量的形式，称这种关于$u$的函数为矢函数。在微分几何中，这种矢函数的表示形式，是描述空间中曲线的一种一般形式。需要注意的是，同一条曲线的参数化形式并不是唯一的!!! $$ \begin{equation} \label{vector_form} \boldsymbol{p}(u) = \begin{bmatrix} x(u) \\ y(u) \\ z(u) \end{bmatrix} \end{equation} $$

2. 曲线的导矢

既然曲线可以写成$(\ref{vector_form})$形式的矢函数，那么其在$u_0$处的导矢可以通过极限求得 $$ \dot{\boldsymbol{p}}(u) = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{\boldsymbol{p}(u_0 + \Delta u) - \boldsymbol{p}(u_0)}{\Delta u} $$ 上式所描述的曲线的一阶导矢常被人们称为切矢，它是一种相对矢量，可以在空间中任意平移。如果 $\dot{\boldsymbol{p}}(u_0) = \boldsymbol{0}$，则曲线在$\boldsymbol{p}(u_0)$处的切线方向就不能通过一阶导矢确定，这种现象称为切矢消失, 该点是一种奇点。此时常用曲线在该点处最低阶的非零导矢的方向确定。

对于参数化的曲线上一点$\boldsymbol{p}(u_0)$，其切矢非零，称之为正则点 regular point。如果曲线在某参数域内的点都是正则的，称该参数化是正则的，响应的曲线被称为正则曲线。

3. 自然坐标系

4. 参数多项式曲线

在 CAGD 中产使用基函数组合的参数矢函数对形状进行数学描述。而基函数的选择有很多形式，其中多项式函数是一种形式简单，并且多次可微的基函数，得到的曲线足够平滑。 $n$ 次多项式构成一个 $n$ 次的多项式空间，其中任何一组 $n + 1$ 个线性无关的多项式都可以作为一组基，不同组基之间只相差一个线性变换。

曲线的表述有插值曲线和逼近曲线两种形式。

幂基monomial $u^j, j = 0, 1, \cdots, n$是最简单的多项式基，其参数多项式曲线方程为 $$ \boldsymbol{p}(u) = \underset{j = 0}{\overset{n}{\Sigma}} \boldsymbol{a}_j u^j $$ 其中，$\boldsymbol{a}_j$为系数矢量。