数据结构与算法
这个系列的文章也是《一个嵌入式操作系统的实现》系列文章的基础。 操作系统也是一种软件，我们需要设计各种数据结构来管理各种不同的数据，比如说进程描述符、内存表等等。操作系统的效率将直接影响应用程序的效率，我们也需要研究算法来提升系统的运行效率。
正如谭浩强所说，算法是程序的灵魂。它提供了解决问题的方法，是程序运行效率的关键。数据结构与算法是相辅相成的一对兄弟。为了算法方便有效的运行，人们会专门为之设计一些数据结构。 算法的操作对象就是各种各样的数据结构，如果说算法是程序的灵魂，那么数据结构就是程序的血与肉。我曾犹豫了很久是否要写这个系列，因为市面上并不缺少不错的算法和数据结构的书籍， 但在写XiaoTuOS的过程中发现我需要一个基础工具箱，为了方便也为了学习，我们一起来看下这个基础内容吧。这个系列的文章更偏向于介绍数据结构，它将是我们的基础工具箱。
这里所说的数据结构更大程度上是一种容器，就好比说我们要把一些水和沙子运到6楼，就需要一个容器来装着它们。这个容器可以是一个木桶，也可以是一个盆子。 我们的操作是对容器的操作，至于说容器里面具体装得是什么并不太关心。这样实现的基本工具就具有比较好的扩展性和可移植性，这一思想就是所谓的抽象数据类型(abstract data type, ADT)。 另外，我还想说的是，达到一个目的可以很多不同的手段，只是付出的代价不同。用桶来搬运，一次可以多搬一些，但每次都需要很大的力气；而盆子就不需要那么大的力气，但是需要搬运很多次。 算法和数据结构也是如此，我们需要根据具体的问题选择合适的方案。
因为嵌入式系统主要是用C语言开发的，所以这里的也以C语言的实现为主，有时也会实现一些C++的版本。为了更好的体现ADT，C语言中会大量的使用宏定义和指针，C++版本会尽量使用模板(template)。 所以要求读者具有一些基本的C/C++语言基础。当然这里介绍的内容，不仅仅可以用C/C++来实现，其基本概念和原理在其他程序语言中也一样适用。我们可以结合特定的语言特性实现不同的语言版本。
本系列的例程参考小土的数据工具箱。工具箱中的代码将一直更新，文章更新速度比较慢，两者会有比较大差异， 但基本思想是不差的。
第一部分: 线性表
线性表就是一个形如\(\langle a_0, a_1, \cdots, a_{n-1} \rangle\)的具有\(n\)个元素的列表。其中的第\(i\)个元素\(a_i\)的前驱为\(a_{i-1}\)， 后继为\(a_{i+1}\)。但是首元素\(a_0\)没有前驱，尾元素\(a_{n-1}\)没有后继。根据存储这些元素的地址空间是否连续，可以有数组和链表两种实现方式。 增加一些特定的插入和删除元素的操作，就可以实现栈的后入先出、堆的先入先出特性。
| 数组 | 数组是一种地址空间连续的线性表。得益于连续的地址空间，它的索引效率很高，复杂度为\(O(1)\)。但是其插入和删除的效率就很低，每次都需要大量的数据搬运工作，
复杂度为\(O(n)\)。
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| 链表 | 链表作为线性表的另一种形态，它具有很高的插入和删除效率，复杂度为\(O(1)\)，但是它的索引效率比较低，复杂度为\(O(n)\)。这是因为链表的地址空间是离散的，
各个元素之间通过指针来记录各自的前驱和后继。
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| 栈 | 本质上栈就是一种线性表，它所保存的数据之间的前驱和后继关系仍然存在。它有专门的入栈和出栈操作，都是在栈顶进行的。最后添加的数据将最先被移除， 也就是所谓的后进先出特性，称之为LIFO。 本文可以看作是对数组和链表的扩展， 相关例程也都是上述两个文章例程的扩展。 |
| 队列 | 队列在线性表的一端插入数据，另一端删除数据，对应的操作称为进队和出队。这种操作可以保证其中保存的数据具有先进现出的特性。
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| 双端队列 | 通过对数据结构栈和队列的分析，我们知道在同一端进行插入和删除操作就可以得到栈，在一端插入另一端删除就可以得到队列。有些时候，我们可能需要组合这些操作，
于是就有了所谓的双端队列，它与栈和队列没什么太大的差别，就是可以在线性表的两端插入和删除数据。
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第二部分: 树
树是图的一种特殊形式，它具有如下的特性：如果\(v\)和\(w\)分别是树\(T\)的两个节点，那么在\(v\)和\(w\)之间只有唯一的一条路径。 通常我们都以一个特殊的节点作为根节点，把树描述成有根树的形式，其它所有节点都是根节点的后代。
| 二叉树 | 二叉树是一种特殊形式的树，它的每个节点最多只有两个孩子，称之为左子树和右子树。二叉树的一个常用的方式就是所谓的二叉查找树(binary search tree, BST)。
对于二叉查找树中的任何一个节点，其左子树中的所有节点的键值都小于该节点的键值，而右子树中的所有节点的键值都大于该节点的键值。此外，在编译器的领域中，二叉树也是一种使用率很高的数据结构，
它通常用于描述表达式。
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| 红黑树 | 二叉查找树就是希望通过数据结构实现一种近似的二分查找，从而得到\(O(log(n))\)的平均时间复杂度。但是在极端的情况下，可能生成极端不平衡的二叉树，以致于在最差情况下，
复杂度退化为\(O(n)\)。红黑树就是一种为了解决这一问题而存在的数据结构，它是一种近似平衡的二叉树。
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| Trie树——字典 | Trie树就是一种为了快速查找指定前缀的数据结构，它的形式很像我们翻查英语字典一样，所以也被人们称为前缀树、字典树。
本文中，我们用C++模板提供了一个字典树的实现，并介绍了插入、查找、删除和追溯操作，这些操作都是\(O(n)\)的复杂度，其中\(n\)是序列长度。
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| KD树 | 一种二叉树。
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第三部分: 二维线性表
| 二维数组 | 本文实现了二维数组，具有很高的索引效率。但是其增加和删除操作的实现需要重新申请内存，因此在需要频繁插入和删除数据的场合效率很低。
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| 二维链表 | 简介。
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第四部分: 图
| 临接表描述的图 | 图\(G = (V, E)\)的临接表形式是由\(|V|\)个临界列表构成的。对于每个\(u \in V\)，其临接表\(Adj[u]\)中记录了所有与该点有连接的边\((u, v) \in E\)，其中\(v\)是\(u\)的临接节点。
临接表的形式适合描述稀疏的图，而且方便增删节点和边。 本文中，我们实现了有向图的临接表，对于无向图只需要无视与边的方向有关的属性即可。
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| 临接矩阵描述的图 | 图\(G = (V, E)\)的临接矩阵形式使用一个\(|V| \times |V|\)的矩阵来描述节点之间的链接关系。矩阵的元素描述了节点之间的连边。
这种描述方式适用于描述稠密的图，即几乎任意两个节点之间都有一条边相连的图。有时为了提高边或者节点的访问效率，也会考虑使用这种描述方式。
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九地第十一
孙子曰：用兵之法：有散地，有轻地，有争地，有交地，有衢地，有重地，有泛地，有围地，有死地。诸侯自战其地者，为散地；入人之地而不深者，为轻地；我得亦利，彼得亦利者，为争地； 我可以往，彼可以来者，为交地；诸侯之地三属，先至而得天下之众者，为衢地；入人之地深，背城邑多者，为重地；山林、险阻、沮泽，凡难行之道者，为泛地；所由入者隘，所从归者迂， 彼寡可以击吾之众者，为围地；疾战则存，不疾战则亡者，为死地。是故散地则无战，轻地则无止，争地则无攻，交地则无绝，衢地则合交，重地测掠，泛地则行，围地则谋，死地则战。
古之善用兵者，能使敌人前后不相及，众寡不相恃，贵贱不相救，上下不相收，卒离而不集，兵合而不齐。合于利而动，不合于利而止。敢问敌众而整将来，待之若何曰： 先夺其所爱则听矣。兵之情主速，乘人之不及。由不虞之道，攻其所不戒也。
凡为客之道，深入则专。主人不克，掠于饶野，三军足食。谨养而勿劳，并气积力，运兵计谋，为不可测。
投之无所往，死且不北。死焉不得，士人尽力。兵士甚陷则不惧，无所往则固，入深则拘，不得已则斗。是故其兵不修而戒，不求而得，不约而亲，不令而信，禁祥去疑，至死无所之。
吾士无余财，非恶货也；无余命，非恶寿也。令发之日，士卒坐者涕沾襟，偃卧者涕交颐，投之无所往，诸、刿之勇也。故善用兵者，譬如率然。率然者，常山之蛇也，击其首则尾至， 击其尾则首至，及其中则首尾俱至。敢问兵可使如率然乎？曰可。夫吴人与越人相恶也，当其同舟济而遇风，其相救也如左右手。是故方马埋轮，未足恃也；齐勇若一，政之道也； 刚柔皆得，地之理也。故善用兵者，携手若使一人，不得已也。
将军之事，静以幽，正以治，能愚士卒之耳目，使之无知；易其事，革其谋，使民无识；易其居，迂其途，使民不得虑。帅与之期，如登高而去其梯；帅与之深入诸侯之地， 而发其机。若驱群羊，驱而往，驱而来，莫知所之。聚三军之众，投之于险，此将军之事也。
九地之变，屈伸之利，人情之理，不可不察也。
凡为客之道，深则专，浅则散。去国越境而师者，绝地也；四徹者，衢地也；入深者，重地也；入浅者，轻地也；背固前隘者，围地也；无所往者，死地也。
是故散地吾将一其志，轻地吾将使之属，争地吾将趋其后，交地吾将固其结，衢地吾将谨其恃，重地吾将继其食，泛地吾将进其途，围地吾将塞其阙，死地吾将示之以不活。
故兵之情：围则御，不得已则斗，过则从。
是故不知诸侯之谋者，不能预交；不知山林、险阻、沮泽之形者，不能行军；不用乡导者，不能得地利。四五者，一不知，非霸王之兵也。夫王霸之兵，伐大国，则其众不得聚； 威加于敌，则其交不得合。是故不争天下之交，不养天下之权，信几之私，威加于敌，故其城可拔，其国可隳(hui, 灰)
施无法之赏，悬无政之令。犯三军之众，若使一人。犯之以事，勿告以言；犯之以害，勿告以利。投之亡地然后存，陷之死地然后生。夫众陷于害，然后能为胜败。
故为兵之事，在顺祥敌之意，并敌一向，千里杀将，是谓巧能成事。是故政举之日，夷关折符，无通其使，厉于廊庙之上。以诛其事。敌人开阖，必亟入之，先其所爱， 微与之期，践墨随敌，以决战事。是故始如处女，敌人开户，后如脱兔，敌不及拒。