有理数的分割

若分有理数为A和B两类，使其满足如下条件，则称该分类方法为对有理数的一种分割：

两类均为非空集；
每一个有理数一定属于其中一类，而且只能属于其中一类；
属于A类(下类)的任一数小于属于B类(上类)的任何数。

有理数的分割有如下特性：

若或是下类A有最大数，或是上类B有最小数，则分割A/B确定一个有理数；
若A类无最大数，而且B类亦无最小数，则分割A/B确定一个无理数。

以下为关于有理数分割的例题

【11】设$c$为正整数，不为整数的平方； A/B为确定实数$\sqrt{c}$的分割，其中B类包含所有满足$b^2 > c$的正有理数$b$，而A类包含所有其余的有理数。求证：在A类中无最大数，而在B类中无最小数。

证：(1)对于A类中的元素$a$，若$a < 0$则A中一定存在一个正数$a' > a$。

(2)对于A类中的正数都有$a^2 ≤ c$，而其中的等号是不可能成立的。因为，根据有理数的定义一定存在一对互质的整数$p,q$使得$a = \frac{p}{q}$，若等号成立，则有$\frac{p^2}{q^2} = c$。而$c$为正整数，意味着$p$能被$q$整除，而两者又是互质的，只有$q=1$能够满足。那么有$p^2 = c$，也就是说$c$是整数$p$的平方，存在矛盾。

(3)要证明A类中无最大数，只需证明存在一个正整数$n$，对所有的$a \in A, a >0$，使得不等式$\left(a + \frac{1}{n}\right)^2 < c$成立即可。 $$ \begin{align} \left(a + \frac{1}{n} \right)^2 & = a^2 + \frac{2a}{n} + \frac{1}{n^2} \\ & ≤ a^2 + \frac{2a + 1}{n} < c \end{align} $$ 所以当$n > \frac{2a + 1}{c - a^2}$时，不等式$\left(a + \frac{1}{n}\right)^2 < c$成立。对于A中任意一个正数$a$只要$n$足够大就一定满足条件，即一定可以找到一个数$a' \in A, a' > a$。

由(1)(2)(3)知，A类中无最大数。

(4)对于B类中的元素，只要证明存在一个正整数$n$，对所有$b \in B$，使得不等式$\left(b - \frac{1}{n} \right)^2 > c$成立即可。 $$ \begin{align} \left(b - \frac{1}{n} \right)^2 & = b^2 - \frac{2b}{n} + \frac{1}{n^2} \\ & > b^2 - \frac{2b}{n} > c \end{align} $$ 所以当$n > \frac{2b}{b^2 - c}$时，不等式$\left(b - \frac{1}{n}\right)^2 > c$成立。对于B中任意一个元素$b$只要$n$足够大就一定满足条件，即一定可以找到一个数$b' \in B, b' < b$。所以B中无最小数。

由(1)(2)(3)(4)，命题得证。口

【12】确定$\sqrt[3]{2}$的分割A/B用下面的方法来建立：A类包含所有满足$a^3 < 2$的有理数； B类包含所有其余的有理数。证明：在A类中无最大数，而B类中无最小数。

证：(1)对于A类中的负数$a$，一定存在一个正数$a'>a$。因此，要证明A类中无最大数，只需证明对于A类中的每一个正数，都存在一个正整数$n$使得如下不等式成立： $$ \begin{align} \left(a + \frac{1}{n}\right)^3 & = a^3 + \frac{3a^2}{n} + \frac{3a}{n^2} + \frac{1}{n^3} \\ & < a^3 + \frac{3a^2 + 3a + 1}{n} \\ & < 2 \end{align} $$ 所以当$n > \frac{3a^2 + 3a + 1}{2-a^3}$时，不等式$\left(a+\frac{1}{n}\right)^3 < 2$成立。对于A中任意一个正数$a$只要$n$足够大就一定满足条件，及一定可以找到一个数$a' \in A, a' > a$。所以A中无最大数。

(2)对B类中的元素都有$b^3 ≥ 2$，而其中的等号是不可能成立的。因为，根据有理数的定义一定存在一对互质的整数$p,q$使得$b=\frac{p}{q}$，若等号成立，则有$\frac{p^3}{q^3} = 2$，意味着$p$能被$q$整除。而$2$为正整数，只有$q=1$才能满足。那么有$p^3 = 2$，即$\sqrt[3]{p} = 2$，矛盾。

(3)要证明B类中没有最小数，只需证明存在一个正整数$n$使得如下的不等式成立即可： $$ \begin{align} \left(b - \frac{1}{n}\right)^3 & = b^3 - \frac{3b^2}{n} + \frac{3b}{n^2} - \frac{1}{n^3} \\ & > b^3 - \frac{3b^2 + 1}{n} \\ & > 2 \end{align} $$ 所以当$n > \frac{3b^2+1}{b^3 - 2}$时，不等式$\left(b - \frac{1}{n}\right)^3 > 2$成立。对于B中每一个元素$b$只要$n$足够大就一定满足条件，即一定可以找到一个数$b' \in B, b' < b$。所以B中无最小数。

由(1)(2)(3)，命题得证。口

【13】作出适当的分割，然后证明等式：
(1)$\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{18}$；
(2)$\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}$

(1).对$\sqrt{2}$做分割A/B：一切有理数$a≤0$以及一切满足$a^2<2$的正有理数属于A类；一切满足$b^2>2$的正有理数属于B类；

对$\sqrt{8}$做分割C/D：一切有理数$c≤0$以及一切满足$c^2<8$的正有理数属于C类；一切满足$d^2>8$的正有理数属于D类；

对$\sqrt{18}$做分割E/F：一切有理数$e≤0$以及一切满足$e^2<18$的正有理数属于E类；一切满足$f^2>18$的正有理数属于F类；

根据加法的定义，我们知道对于任意$a \in A, c \in C$和任意$b \in B, d \in D$，满足$(a+c) < x < (b+d)$的唯一实数为$x = \sqrt{2}+\sqrt{8}$。因此，可以构建分割G/H：有理数$g = a + c, a \in A, c \in C$属于G类，有理数$h = b + d, b \in B, d \in D$属于H类。要证明等式$\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{18}$只需证明分割G/H与分割E/F确定的是同一个实数即可：

对于G中的所有正有理数$g = a + c$都有： $$ \begin{align} g^2 = (a + c)^2 & < (\sqrt{2} + \sqrt{8})^2 \\ & = 2 + 2\sqrt{2}\sqrt{8} + 8 \\ & = 18 \end{align} $$ 同理，对于H中的所有元素$h$都有$h^2 > 18$。所以，分割G/H与分割E/F确定的是同一个有理数，命题得证。口

(2).对$\sqrt{3}$做分割I/J：一切有理数$i ≤ 0$以及一切满足$i^2 < 3$的正有理数属于I类；一切满足$j^2 > 3$的正有理数属于J类；

对$\sqrt{6}$做分割K/L：一切有理数$k ≤ 0$以及一切满足$k^2 < 6$的正有理数属于K类；一切满足$l^2 > 6$的正有理数属于L类；

显然，对于任意正有理数$a \in A, i \in I$和任意$b \in B, j \in J$，满足$a \cdot i < x < b \cdot j$的唯一实数为$x = \sqrt{2}\sqrt{3}$。因此，可以构建分割M/N：所有有理数$m ≤ 0$以及$m = a \cdot i, a > 0, i > 0, a \in A, i \in I$的有理数属于M类；所有$n = b \cdot j, b \in B, j \in J$的有理数属于N类。要证明等式$\sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6}$只需证明分割K/L与M/N确定的是同一个实数即可：

对M中的所有正有理数$m = a \cdot i, a > 0, i > 0, a\in A, i \in I$都有： $$ \begin{align} m^2 = (a \cdot i)^2 & < (\sqrt{2}\sqrt{3})^2 \\ & = 6 \end{align} $$ 同理，对N中的所有元素$n$都有$n^2 > 6$。所以，分割K/L与M/N确定的是用一个实数，命题得证。口

【14】建立确定数$2^{\sqrt{2}}$的分割

解：(1)先做确定$\sqrt{2}$的分割$A_1/B_1$。

(2)再做分割$A/B$，其中A类包含所有负有理数、0、和满足如下条件的正有理数$a$：

如果有$\frac{p}{q}$($p,q$互质)属于$A_1$，则有$a^q < 2^p$。

(3)其余正有理数均属于$B$类。

这样的分割$A/B$就确定了数$2^{\sqrt{2}}$。

有理数的分割

以下为关于有理数分割的例题

【11】设\(c\)为正整数，不为整数的平方； A/B为确定实数\(\sqrt{c}\)的分割，其中B类包含所有满足\(b^2 > c\)的正有理数\(b\)，而A类包含所有其余的有理数。求证：在A类中无最大数，而在B类中无最小数。

【12】确定\(\sqrt[3]{2}\)的分割A/B用下面的方法来建立：A类包含所有满足\(a^3 < 2\)的有理数； B类包含所有其余的有理数。证明：在A类中无最大数，而B类中无最小数。

【13】作出适当的分割，然后证明等式：
(1)\(\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{18}\)；
(2)\(\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}\)

【14】建立确定数\(2^{\sqrt{2}}\)的分割

有理数的分割

以下为关于有理数分割的例题

【11】设\(c\)为正整数，不为整数的平方； A/B为确定实数\(\sqrt{c}\)的分割，其中B类包含所有满足\(b^2 > c\)的正有理数\(b\)， 而A类包含所有其余的有理数。求证：在A类中无最大数，而在B类中无最小数。

【12】确定\(\sqrt[3]{2}\)的分割A/B用下面的方法来建立：A类包含所有满足\(a^3 < 2\)的有理数； B类包含所有其余的有理数。证明：在A类中无最大数，而B类中无最小数。

【13】作出适当的分割，然后证明等式： (1)\(\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{18}\)； (2)\(\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}\)

【14】建立确定数\(2^{\sqrt{2}}\)的分割

【11】设\(c\)为正整数，不为整数的平方； A/B为确定实数\(\sqrt{c}\)的分割，其中B类包含所有满足\(b^2 > c\)的正有理数\(b\)，而A类包含所有其余的有理数。求证：在A类中无最大数，而在B类中无最小数。

【13】作出适当的分割，然后证明等式：
(1)\(\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{18}\)；
(2)\(\sqrt{2}\sqrt{3}=\sqrt{6}\)