Chapter2: 空间向量代数
Spatial Vector Algebra

空间矢量(spatial vector)是 6D 的向量，用于描述刚体平移和旋转两个方面的运动和力。它提供了一套紧凑的符号，用于研究刚体动力学。单独一个空间矢量可以完成两个 3D 向量的工作，一个空间方程(spatial equation)可以替代两个甚至更多的 3D 向量方程。借助空间向量符号，我们可以快速的开发运动方程，并以简洁地形式表达。方便我们设计动力学算法，可以很容易转换成计算机代码。

本章从第一性原理出发，介绍空间向量代数以及单一刚体的运动方程。此外还会描述平面向量代数，它是用于描述只在 2D 平面上运动的空间向量代数的特例。关于实现空间向量算术方法参见附录 A 中，第3章将介绍空间向量用于分析一般刚体系统的方法。

2.1 预备数学知识

本部分简述空间向量代数的一些数学概念和符号。更多的细节可以参见其他一些教科书 Greenwood(1988), Selig(1996)。

向量和向量空间(Vectors and Vector Spaces): 在线性代数中，向量是向量空间(vector space)的元素。不同的向量空间定义了不同类型的向量。本书中常用如下 4 个向量空间: $$ \begin{array}{rcl} R^n & —— & \text{坐标向量, coordinate vectors} \\ E^n & —— & \text{欧式向量，Euclidean vectors} \\ M^n & —— & \text{空间运动向量, spatial motion vectors} \\ F^n & —— & \text{空间力向量, spatial force vectors} \end{array} $$ 上述符号中上角标表示空间的维度。还有一个常用的空间是 $m \times n$ 的矩阵所张成的空间，通常记为$R^{m \times n}$。坐标向量是一个实数的 $n$元组，或者说是一个 $n \times 1$ 的实数矩阵，或者说就是一个列向量。坐标向量通常用于表示其他向量，这些向量被称为抽象向量 abstract vector。欧式向量定义了向量的内积，可以用于描述尺度以及方向。用于描述刚体动力学的 3D 向量就是欧式向量。空间向量并不是欧式的，它由两个向量空间构成，一个用于描述运动，一个用于描述力。空间运动向量描述了，诸如速度、加速度，这样的刚体运动属性。而空间力向量则用于描述，诸如力、冲量、动量，之类与力相关的属性。空间 $M^6$ 和 $F^6$ 是本章的主题。

Hats and Underlines: 当空间向量和3D向量同时出现的时候，为了避免命名冲突，我们用 hat 标记空间向量(e.g. $\boldsymbol{\hat{v}}, \boldsymbol{\hat{f}}$)。一般情况下，我们并不区分坐标向量和它们表示的抽象向量。必须区分时，我们给坐标向量加一个下划线(e.g. $\boldsymbol{\underline{v}}$)。我们只在必要的时候用这些特殊标记，在本章之外几乎用不到。

向量空间的对偶(The Dual of a Vector Space): 对于一个向量空间 $V$，其对偶空间被标记为 $V^*$，它是一个与$V$维度相同的空间， and having the property that a scalar product is defined between it and $V$ (i.e., the scalar product takes one argument from each space). 如果 $\boldsymbol{u} \in V^*$ 和 $\boldsymbol{v} \in V$ 那么其标量积(scalar product)可以写作 $\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}$ 或 $\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u}$，这两个形式的意义一样。这不就是个向量的内积吗。对偶是一种对称关系，如果 $U = V^*$ 那么 $V = U^*$。

空间 $M^n$ 和 $F^n$ 互为对偶空间。特别的，运动向量 $\boldsymbol{m} \in M^6$ 和力向量 $\boldsymbol{f} \in F^6$ 之间的标量积 $\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{f}$ 的物理意义就是力 $\boldsymbol{f}$ 的功率。向量空间及其对偶的标量积必须是非退化的(nondegenerate, 或者说是非奇异的, nonsingular)。如果一个标量积满足如下的特性，我们说它是非退化的：对于任何 $\boldsymbol{v} \in V$，如果 $\boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{0}$ 那么至少存在一个向量 $\boldsymbol{u} \in V^*$ 满足 $\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{u} \neq 0$。这个特性是空间 $V$ 和 $V^*$ 存在对偶基的充分条件。

对偶基(Dual Bases): 假设我们有两个向量空间$U$ 和 $V$，并且$U = V^*$。记 $\mathcal{D} = { \boldsymbol{d}_1, \cdots, \boldsymbol{d}_n}$ 是 $U$ 的一组基，$\mathcal{E} = {\boldsymbol{e}_1, \cdots, \boldsymbol{e}_n}$ 是 $V$ 的一组基。如果这两个基满足如下条件，我们说$\mathcal{D,E}$构成空间$U,V$的一组对偶基。 $$ \boldsymbol{d}_i \cdot \boldsymbol{e}_j = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ 这被称为 reciprocity condition。如果 $\mathcal{D,E}$ 满足这个条件，我们就说它们互为 reciprocal。如果给定了其中一个基，另一个可以根据 reciprocity 条件惟一确定。我们可以用$D^*$表示$D$的 reciprocal。需要注意的是，对偶基由两组基向量构成，覆盖了两个向量空间。

如果$U=E^n$，那么我们可以找到一个空间$V = U$，使得$\mathcal{D,E}$是描述同一个向量空间的两组基。我们也可以找到特定的一组基$\mathcal{D}$，满足$\mathcal{D} = \mathcal{E}$，这样的基称为是正交的(orthonormal)。因此，正交基，是对偶基的一种特殊情况，$U = V = E^n$，并且$\mathcal{D} = \mathcal{E}$。

对偶坐标系(Dual Coordinates): 对偶基定义了一个对偶坐标系统。我们总是用对偶坐标表示 spatial vectors，大多数情况下都是普吕克坐标系(Plücker coordinates)。对偶坐标具有空间特性: $$ \boldsymbol{u}\cdot \boldsymbol{v} = \boldsymbol{\underline{u}}^T \boldsymbol{\underline{v}} $$ 其中 $\boldsymbol{\underline{u}}$ 和 $\boldsymbol{\underline{v}}$ 是坐标向量，表示 $\boldsymbol{u} \in U$ 和 $\boldsymbol{v} \in V$ 是由基 $\mathcal{D}$ 和 $\mathcal{E}$ 定义的对偶坐标系统。$\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 中的元素可以由基的点乘得到: $$ u_i = \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{u} $$ $$ v_i = \boldsymbol{d}_i \cdot \boldsymbol{v} $$

我们需要两个变换方程，才能描述从一个坐标系统到其对偶系统的坐标变换关系，一个作用于 $\boldsymbol{\underline{u}}$，另一个作用于 $\boldsymbol{\underline{v}}$。如果 $\boldsymbol{X}$ 是作用于 $\boldsymbol{\underline{u}}$ 上的变换矩阵，那么作用于 $\boldsymbol{\underline{v}}$ 的变换矩阵可以记为 $\boldsymbol{X}^*$，它们满足关系: $$ \boldsymbol{X}^* = \boldsymbol{X}^{-T} $$ 对于所有由$\boldsymbol{\underline{u}}$ 和 $\boldsymbol{\underline{v}}$ 派生出来的向量，都有关系 $\boldsymbol{\underline{u}}^T \boldsymbol{\underline{v}} = (\boldsymbol{X}\boldsymbol{\underline{u}})^T(\boldsymbol{X}^*\boldsymbol{\underline{v}})$。

操作符 $\boldsymbol{a} \cdot$ 和 $\boldsymbol{a} \times$: 我们可以把诸如 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 的操作，看作是作用在 $\boldsymbol{b}$ 上的操作符。操作符 $\boldsymbol{a}\cdot$ 将向量 $\boldsymbol{b}$ 映射到标量 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$，而操作符 $\boldsymbol{a} \times$ 则将$\boldsymbol{b}$ 映射到 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$。如果 $\boldsymbol{a}$ 是一个坐标向量，那么$\boldsymbol{a} \cdot = \boldsymbol{a}^T$，$\boldsymbol{a} \times$则是一个方阵。表 2.1 和 2.3中列举了一些 $\boldsymbol{a}\times$ 的性质，表 2.3 中还列出了其对偶操作符 $\boldsymbol{a} \times ^*$ 的一些性质。

Dyads and Dyadics: 形如 $\boldsymbol{ab\cdot}$ 的表达式被称为 dyad。它描述了一种向量到向量之间的线性映射关系。特别的， $\boldsymbol{ab\cdot}$ 把向量 $\boldsymbol{c}$ 映射为 $\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b \cdot c})$，相当于向量 $\boldsymbol{a}$ 乘上一个标量。如果 $\boldsymbol{\underline{a}}$ 和 $\boldsymbol{\underline{b}}$ 是派生向量 $\boldsymbol{a,b}$ 的坐标向量，那么 $\boldsymbol{ab\cdot}$ 可以写成矩阵的形式 $\boldsymbol{\underline{a}}\boldsymbol{\underline{b}}^T$，其秩为 1。一般情况下，有向量空间$\boldsymbol{a} \in \boldsymbol{U}, \boldsymbol{b} \in \boldsymbol{V}, \boldsymbol{c} \in \boldsymbol{W}$，其中蕴含的标量积是定义在空间$\boldsymbol{V, W}$中，而 dyad 建立的是向量空间 $\boldsymbol{W}$ 到 $\boldsymbol{U}$ 的映射。

dyadic(或者说是 dyadic 张量)描述的是向量的一般线性映射关系。任何 dyadic 都可以写成 $r$ 个线性无关的 dyad 的和: $$ \boldsymbol{L} = \sum_{i = 1}^r \left( \boldsymbol{a}_i \boldsymbol{b}_i \cdot \right) $$ 其中，$\boldsymbol{a}_i \in \boldsymbol{U}, \boldsymbol{b}_i \in \boldsymbol{V}, r ≤ \min(m, n)$。其中，$m = \dim(\boldsymbol{U}), n = \dim(\boldsymbol{V})$。如果 $\boldsymbol{U}$ 中的向量 $\boldsymbol{a}_i$ 是线性无关的，并且 $\boldsymbol{V}$ 中的向量 $\boldsymbol{b}_i$ 是线性无关的，那么对应的 dyads 集合就是线性无关的。如果 $\boldsymbol{a}_i$ 和 $\boldsymbol{b}_i$ 是坐标向量，那么 $\boldsymbol{L}$ 可以写作： $$ \boldsymbol{L} = \sum_{i=1}^r \boldsymbol{a}_i \boldsymbol{b}_i^T $$ 这是一个 $m \times n$ 的矩阵，其秩为 $r$。如果 $m = n = r$ 那么$\boldsymbol{L}$就是一个 1:1 映射，一一映射?，并且是不可逆的。 Dyadics 通常于空间惯性张量一起使用。

2.2 空间速度

现在，我们从刚体 $B$，以及空间中任意选择一个固定的点 $O$开始，推导描述刚体空间速度的公式。如图2.1(a)所示，给定点 $O$， $B$ 的速度可以由两个3D向量来表述：与刚体固连并在当前瞬间与$O$重合的点的线速度 $\boldsymbol{v}_O$，和角速度向量$\boldsymbol{\mathcal{w}}$。每个瞬间，整个刚体的运动可以归结为，以线速度 $\boldsymbol{v}_O$ 的平移运动，和一个穿过 $O$ 点的角速度$\boldsymbol{\mathcal{w}}$的旋转运动。

按照这种表述方式，我们可以写出刚体任意一点 $P$ 的速度 $\boldsymbol{v}_P$：

$$ \begin{equation}\label{equa_2_1} \boldsymbol{v}_P = \boldsymbol{v}_O + \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \vec {OP} \end{equation} $$

其中，$\vec{OP}$ 是点$P$相对于$O$的位置矢量。显然 $\boldsymbol{v}_P$ 由两个部分构成，一个是刚体整体的线速度，另一个是由旋转和位置偏移量产生的速度。尽管两个分量都与$O$的位置有关，但是它们的和会抵消掉这个依赖，所以$\boldsymbol{v}_P$只与$B$的运动和$P$的位置有关。 $P, \boldsymbol{v}_P, \boldsymbol{\mathcal{w}}$ 与 $O, \boldsymbol{v}_O, \boldsymbol{\mathcal{w}}$描述的是同一个刚体运动。

图 2.1. (a) 向量 $\boldsymbol{\mathcal{w}}$ 和 $\boldsymbol{v}_O$ 描述的刚体速度。 (b) 普吕克运动坐标的基向量。

现在我们以$O$为原点，建立笛卡尔坐标系$O_{xyz}$。该坐标系有三个穿过原点的有方向的直线$Ox, Oy, Oz$，定义了三个相互垂直的方向$x,y,z$。定义了一个正交基${\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}} \subset E^3$，我们可以将 $\boldsymbol{\mathcal{w}}$ 和 $\boldsymbol{v}_O$写成笛卡尔坐标的形式： $$ \boldsymbol{\mathcal{w}} = \mathcal{w}_x \boldsymbol{i} + \mathcal{w}_y \boldsymbol{j} + \mathcal{w}_z \boldsymbol{k} $$ $$ \boldsymbol{v}_O = v_{Ox}\boldsymbol{i} + v_{Oy}\boldsymbol{j} + v_{Oz}\boldsymbol{k} $$ 用坐标系表述 $\boldsymbol{\mathcal{w}}$ 和 $\boldsymbol{v}_O$，也可以将 $B$ 的速度可以分解为6个运动项的和: 分别绕着$Ox, Oy, Oz$转动的$\mathcal{w}_x, \mathcal{w}_y, \mathcal{w}_z$，以及沿着$x,y,z$三个方向的平移运动$v_{Ox}, v_{Oy}, v_{Oz}$。我们的目标是获得一个空间向量 $\hat{\boldsymbol{v}} \in M^6$ 同时描述 $\boldsymbol{\mathcal{w}}$ 和 $\boldsymbol{v}_O$。如图2.1(b)所示，首先我们需要定义一组 $M^6$ 的基： $$ \begin{equation}\label{equa_2_2} \mathcal{D}_O = \left\{ \boldsymbol{d}_{Ox}, \boldsymbol{d}_{Oy}, \boldsymbol{d}_{Oz}, \boldsymbol{d}_{x}, \boldsymbol{d}_{y}, \boldsymbol{d}_{z} \right\} \subset M^6 \end{equation} $$ 实际上，这是一个普吕克基(Plücker basis)，定义了$M^6$上的普吕克坐标系。前三个基向量, $\boldsymbol{d}_{Ox}, \boldsymbol{d}_{Oy}, \boldsymbol{d}_{Oz}$，分别是绕着直线$Ox, Oy, Oz$转动的三个单位旋转矢量，剩下三个基向量则是沿着$x,y,z$平移的三个单位平移矢量。刚体的速度可以写成如下的6项之和: $$ \begin{equation}\label{equa_2_3} \hat{\boldsymbol{v}} = \mathcal{w}_x \boldsymbol{d}_{Ox} + \mathcal{w}_y \boldsymbol{d}_{Oy} + \mathcal{w}_z \boldsymbol{d}_{Oz} + v_{Ox} \boldsymbol{d}_x + v_{Oy} \boldsymbol{d}_y + v_{Oz} \boldsymbol{d}_z \end{equation} $$ 实际上，普吕克坐标系$\mathcal{D}_O$下的速度矢量$\hat{\boldsymbol{v}}$是笛卡尔坐标系$\{\boldsymbol{i,j,k}\}$下的$\boldsymbol{\mathcal{w}}$和$\boldsymbol{v}_O$。尽管式($\ref{equa_2_3}$) 中右侧的每一项都与 $O_{xyz}$ 的位置和方向有关，但是该表达式整体却与之无关(详细参见例2.2)。 $\mathcal{D}_O$坐标系下表述 $\hat{\boldsymbol{v}}$的坐标向量可以写作: $$ \begin{equation}\label{equa_2_4} \underline{\hat{\boldsymbol{v}}}_O = \begin{bmatrix} \mathcal{w}_x \\ \mathcal{w}_y \\ \mathcal{w}_z \\ v_{Ox} \\ v_{Oy} \\ v_{Oz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{\boldsymbol{w}} \\ \underline{\boldsymbol{v}}_O \end{bmatrix} \end{equation} $$

Example 2.1:式($\ref{equa_2_1}$)的向量$\boldsymbol{v}_P$对空间中的每个点$P$都有效。因而定义了一个向量场——刚体$B$的速度场。我们可以将之写成如下的形式： $$ \begin{equation}\label{equa_2_5} \boldsymbol{V}(P) = \boldsymbol{v}_O + \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \vec {OP} \end{equation} $$ 其中，$\boldsymbol{V}$表示向量场，$\boldsymbol{V}(P)$是与点$P$关联的速度。尽管$O$出现在$V$的定义里，但是无论$O$在什么位置，上式的右侧都是不变的。空间向量和向量场的联系可以帮助我们对空间向量进行可视化。比如说，$\hat{\boldsymbol{v}}_1$ 和 $\hat{\boldsymbol{v}}_2$ 是两个空间向量，并且$\boldsymbol{V}_1, \boldsymbol{V}_2$是与之对应的向量场。如果有$\hat{\boldsymbol{v}}_{sum} = \hat{\boldsymbol{v}}_1 + \hat{\boldsymbol{v}}_2$ 那么与 $\hat{\boldsymbol{v}}_{sum}$ 关联的向量场，对于所有点$P$都有属性$\boldsymbol{V}_{sum}(P) = \boldsymbol{V}_1(P) + \boldsymbol{V}_2(P)$

图 2.2. 在坐标系$O$中表示$\boldsymbol{d}_{Py}, \boldsymbol{d}_{Pz}$。

Example 2.2:现在我们，以点$P$为原点构建空间速度矢量$\hat{\boldsymbol{v}}'$，并证明 $\hat{\boldsymbol{v}}' = \hat{\boldsymbol{v}}$，来研究一下公式($\ref{equa_2_3}$)的不变性。其中 $\hat{\boldsymbol{v}}'$ 可以展开为:

$$ \hat{\boldsymbol{v}}' = \mathcal{w}_x \boldsymbol{d}_{Px} + \mathcal{w}_y \boldsymbol{d}_{Py} + \mathcal{w}_z \boldsymbol{d}_{Pz} + v_{Px} \boldsymbol{d}_x + v_{Py} \boldsymbol{d}_y + v_{Pz} \boldsymbol{d}_z $$

如图2.2所示，不妨设$P$相对于坐标系$O_{xyz}$的坐标为 $(r, 0, 0)$。根据式($\ref{equa_2_1}$)有$P$点的线速度:

$$ \begin{bmatrix} v_{Px} \\ v_{Py} \\ v_{Pz} \end{bmatrix} = \underline{\boldsymbol{v}}_O + \underline{\boldsymbol{\mathcal{w}}} \times \begin{bmatrix} r \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{Ox} \\ v_{Oy} + \mathcal{w}_z r \\ v_{Oz} - \mathcal{w}_y r \end{bmatrix} $$

那么$P$点的三个基向量可以写作:

$$ \begin{align} \boldsymbol{d}_{Px} & = \boldsymbol{d}_{Ox} \\ \boldsymbol{d}_{Py} & = \boldsymbol{d}_{Oy} + r \boldsymbol{d}_z \\ \boldsymbol{d}_{Pz} & = \boldsymbol{d}_{Oz} - r \boldsymbol{d}_y \end{align} $$

将这些式子组合起来，有:

$$ \hat{\boldsymbol{v}}' = \mathcal{w}_x \boldsymbol{d}_{Ox} + \mathcal{w}_y \left(\boldsymbol{d}_{Oy} + r\boldsymbol{d}_{z}\right) + \mathcal{w}_z \left(\boldsymbol{d}_{Oz} - r\boldsymbol{d}_y\right) + v_{Ox} \boldsymbol{d}_x + \left(v_{Oy} + \mathcal{w}_z r\right)\boldsymbol{d}_y + \left(v_{Oz} - \mathcal{w}_y r\right)\boldsymbol{d}_z $$

这正是式($\ref{equa_2_3}$)。我们再来看看三个基向量$\boldsymbol{d}_{Px},\boldsymbol{d}_{Py},\boldsymbol{d}_{Pz}$，因为直线$Px$于$Ox$重合，所以有$\boldsymbol{d}_{Px} = \boldsymbol{d}_{Ox}$。至于$Py$，我们可以想象刚体绕着 $Py$ 转动，刚体上的固定点$O$将在 z 方向上产生一个臂长为 $r$ 的矩，如图2.2所示，所以$\boldsymbol{d}_y$ 由矢量$\boldsymbol{d}_{Oy}$和矩$r\boldsymbol{d}_z$两项构成。我更愿意理解为，矢量$\boldsymbol{d}_{Py}$ 沿$Ox$平移了$r$的距离，所以产生了矩$r\boldsymbol{d}_z$。类似的还有，$\boldsymbol{d}_{Pz} = \boldsymbol{d}_{Oy} - r \boldsymbol{d}_y$。

这里的分析可以扩展到$P$去任何位置的一般情况。类似的分析也可以用于验证$O_{xyz}$的方向，也不会影响式($\ref{equa_2_3}$)。

2.3 空间力

图 2.3. (a) 作用在刚体上的力可以归结为力$\boldsymbol{f}$和力偶$\boldsymbol{n}_O$。 (b) 普吕克力坐标的基向量。

如图2.3(a)所示，关于空间中任意一个点$O$，作用在刚体$B$上的力，都可以归结为一个通过点$O$的力$\boldsymbol{f}$，和一个力偶$\boldsymbol{n}_O$。给定点$O$力偶$\boldsymbol{n}_O$和力$\boldsymbol{f}$，我们可以用如下的公式计算关于任意点$P$的总力矩: $$ \begin{equation}\label{equa_2_6} \boldsymbol{n}_P = \boldsymbol{n}_O + \boldsymbol{f} \times \vec{OP} \end{equation} $$ 该式与式($\ref{equa_2_1}$)的形式相同，只是$\boldsymbol{f}$替换了$\boldsymbol{\mathcal{w}}$； $\boldsymbol{n}_{O}, \boldsymbol{n}_{P}$替换了$\boldsymbol{v}_{O}, \boldsymbol{v}_{P}$。同样的该式的形式，与$O$的位置无关， $O,\boldsymbol{n}_O, \boldsymbol{f}$与$P, \boldsymbol{n}_P, \boldsymbol{f}$ 描述的是相同的作用力。以$O$为原点，建立笛卡尔坐标系$O_{xyz}$，由此定义一组正交基$\{\boldsymbol{i,j,k} \} \in E^3$，那么$\boldsymbol{n}_O$和$\boldsymbol{f}$可以写成如下形式: $$ \boldsymbol{n}_O = n_{Ox}\boldsymbol{i} + n_{Oy}\boldsymbol{j} + n_{Oz}\boldsymbol{k} $$ $$ \boldsymbol{f} = f_x \boldsymbol{i} + f_y \boldsymbol{j} + f_z \boldsymbol{k} $$ 我们可以将作用在刚体$B$上的力写成6项的和：沿着$x,y,z$三个方向的力偶$n_{Ox}, n_{Oy}, n_{Oz}$，和作用在直线$Ox, Oy, Oz$上的力$f_x, f_y, f_z$。构成空间$F^6$的普吕克基，如图2.3(b)所示: $$ \begin{equation}\label{equa_2_7} \mathcal{E}_O = \left\{ \boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_y, \boldsymbol{e}_z, \boldsymbol{e}_{Ox}, \boldsymbol{e}_{Oy}, \boldsymbol{e}_{Oz} \right\} \subset F^6 \end{equation} $$ 其中，前三项分别是$x,y,z$方向上的单位力偶，后三项则是沿着$Ox, Oy, Oz$方向的单位线性力。那么空间力向量 $\hat{\boldsymbol{f}} \in F^6$可以写成如下的6个项的和 $$ \begin{equation}\label{equa_2_8} \hat{\boldsymbol{f}} = n_{Ox} \boldsymbol{e}_x + n_{Oy} \boldsymbol{e}_y + n_{Oz} \boldsymbol{e}_z + f_x \boldsymbol{e}_{Ox} + f_y \boldsymbol{e}_{Oy} + f_z \boldsymbol{e}_{Oz} \end{equation} $$ 虽然，上式中右侧的每一项都与$O_{xyz}$的位置或方向有关系，但是其整体却与之无关，即，$\hat{\boldsymbol{f}}$ 的取值与 $O_{xyz}$ 无关，只与作用在刚体$B$上的力有关。 $\mathcal{E}_O$坐标系中$\hat{\boldsymbol{f}}$的坐标向量可以写成: $$ \begin{equation}\label{equa_2_9} \underline{\hat{\boldsymbol{f}}}_O = \begin{bmatrix} n_{Ox} \\ n_{Oy} \\ n_{Oz} \\ f_x \\ f_y \\ f_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{n}_O \\ \underline{f} \end{bmatrix} \end{equation} $$ 其中，$\underline{\boldsymbol{n}}_O = \begin{bmatrix} n_{Ox} & n_{Oy} & n_{Oz} \end{bmatrix}^T, \underline{\boldsymbol{f}} = \begin{bmatrix} f_x & f_y & f_z \end{bmatrix}^T$。

2.4 普吕克符号(Plücker Notation)

普吕克坐标系可以追溯到19世纪，但是其基向量却是一个比较新的概念。选择普吕克坐标系表达 6D 向量，一方面是他们方便计算机实现，更主要是因为它们十分方便好用。式($\ref{equa_2_4}$)($\ref{equa_2_9}$)中出现的符号，就是普吕克坐标系下速度和力的表示方法。在描述速度时，我们分别用了两个不同3D向量$\boldsymbol{v}$ 和 $\boldsymbol{\mathcal{w}}$，来描述线速度和角速度，最后在式($\ref{equa_2_4}$)中将之整合到普吕克坐标系下。类似的，对于力，我们也分别用了两个3D向量表示线性力和力矩，在式($\ref{equa_2_9}$)中整合到普吕克坐标系下。

一般情况下，坐标可以说是一种向量。如果$\hat{\boldsymbol{m}}$和$\hat{\boldsymbol{f}}$分别是$M^6, F^6$中的元素，那么它们的普吕克坐标可以写作:

$$ \underline{\hat{\boldsymbol{m}}}_O = \begin{bmatrix} m_x \\ m_y \\ m_z \\ m_{Ox} \\ m_{Oy} \\ m_{Oz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{\boldsymbol{m}} \\ \underline{\boldsymbol{m}}_O \end{bmatrix} \qquad \text{and} \qquad \underline{\hat{\boldsymbol{f}}}_O = \begin{bmatrix} f_{Ox} \\ f_{Oy} \\ f_{Oz} \\ f_x \\ f_y \\ f_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{\boldsymbol{f}} \\ \underline{\boldsymbol{f}}_O \end{bmatrix} $$

我们总是按照 angular-before-linear 的顺序写普吕克坐标。虽然我们总是把三个角度坐标写在前面，但是读者应该知道，把三个线性坐标写在前面也完全没有问题的，只是书写顺序不同而已。从数学的角度看，坐标的顺序并没有什么特别的作用。但是从计算机的角度看，其顺序会影响数据在内存中的分布，在程序中应当统一一种顺序。

2.5 线向量和自由向量(Line Vectors and Free Vectors)

线向量(line vector)是由有向的直线和长度描述的量。刚体的一个纯旋转运动就是一个线向量，作用在刚体上的一个线性力也是线向量。自由向量则是由方向和长度描述的量。刚体的纯平移运动就是自由向量，作用在刚体上的一对力偶也是自由向量。我们需要5个数来描述线向量，而自由向量则只需要3个数。线向量也可以由一个自由向量和直线上的一个点来表示。

令$\hat{\boldsymbol{s}}$为任意空间向量，$\boldsymbol{s}, \boldsymbol{s}_O$分别为构成普吕克坐标$\hat{\{\boldsymbol{s}}$的两个3D坐标向量。有如下一些关于线向量和自由向量的事实:

如果 $\boldsymbol{s} = \boldsymbol{0}$ 那么 $\hat{\boldsymbol{s}}$ 就是一个自由向量。
如果 $\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}_O = 0$ 那么 $\hat{\boldsymbol{s}}$ 就是一个线向量。$\boldsymbol{s}$就是直线的方向，并且该直线本身就是点集$\{P | \vec{OP} \times \boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_O\}$。
任何空间向量都可以写成一个线向量和一个自由向量的和。如果线向量必须通过一个给定点，那么其表达式就是唯一的。
除自由向量之外，任何空间向量都可以唯一地表示为一个线向量和一个与之平行的自由向量的之和。其表达式为: $$ \begin{equation}\label{equa_2_10} \begin{bmatrix} \boldsymbol{s} \\ \boldsymbol{s}_O - h \boldsymbol{s} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \boldsymbol{0} \\ h \boldsymbol{s} \end{bmatrix} \end{equation} \qquad \text{where} \qquad h = \frac{\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}_O}{\boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s}} $$

上式意味着，除自由向量之外的任何空间向量，都可以由一个有向直线、直线长度、转动角度(angular magnitude) 唯一地表示。自由向量也可以按照类似的方式描述，但是并不唯一，因为它只关心直线的方向。

根据旋量理论(screw theory)，螺旋运动(helical or screwing motion)是刚体最一般的运动形式，即，刚体绕着一个轴转动的同时沿着该轴前进。这种运动也被称为twist。类似的，刚体上最一般的作用力是，沿着空间中某个直线的线性力，以及绕着该直线的力偶，这样的力被称为wrench。对于这两种情况，转轴本身称为螺旋轴screw axis，自由向量的长度与线向量长度的比值称为螺距pitch。纯自由向量被看作是螺距无穷大的 twist 和 wrench，没有螺旋轴的定义。$M^6$ 和 $F^6$ 的元素可以分别看做是 twists 和 wrenches。

空间向量并不是欧式向量，因而没有欧式空间中模长的概念。但是有四种空间向量可以找到有意义的模长定义，它们是旋转、平移、线性力和力偶。它们的模长只能在同类之间比较，比如说，一个旋转运动只能跟别的旋转运动比转的快慢，不能跟平移比距离长短，也不能跟力比大小。

模长为1的向量被称为单位向量。但是单位"1"的意义由所选择系统单位决定。比如说，单位转动速度可以使一弧度每秒，单位平移速度可以使一米每秒。因此，普吕克基向量都是单位向量，不仅依赖于坐标系的位置和速度，还依赖于系统的单位。

2.6 标量积(Scalar Product)

空间向量的标量积是指，一个运动向量与一个力向量的乘积，它们的结果是一个标量，表示能量、功率或者类似意义的量。给定$\boldsymbol{m} \in M^6, \boldsymbol{f} \in F^6$，标量积可以写成$\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{f}$，也可以是$\boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{m}$，它们的意义是一样的。但是 $\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{m}$ 和 $\boldsymbol{f} \cdot \boldsymbol{f}$ 并没有定义，或者说空间$M^6, F^6$中没有内积的概念。如果 $\boldsymbol{f}$ 是作用在刚体上的力，$\boldsymbol{m}$是其速度，那么$\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{f}$就是力$\boldsymbol{f}$释放的功率。标量积建立了空间$M^6$和$F^6$之间的对偶关系。它给空间向量代数带来了如下的一些影响:

我们在空间$M^6$和$F^6$上使用对偶坐标系；
力和运动向量遵循不同的坐标变换规则；
有两个叉乘运算: 一个用于运动向量，另一个用于力，详细参见§2.9。

空间$M^6$和$F^6$上的一个对偶坐标系，是由两组基 $\{\boldsymbol{d}_1, \cdots, \boldsymbol{d}_6 \} \subset M^6, \{\boldsymbol{e}_1, \cdots, \boldsymbol{e}_6\} \subset F^6$ 构成的任何坐标系。这两组基向量满足条件:

$$ \begin{equation}\label{equa_2_11} \boldsymbol{d}_i \cdot \boldsymbol{e}_j = \begin{cases} 1 & \text{if}\ i = j \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{equation} $$

式($\ref{equa_2_2}$)($\ref{equa_2_7}$)中定义的$\mathcal{D}_O$ 和 $\mathcal{E}_O$ 就构成了一个对偶坐标系统。对偶坐标系统的最重要特性就是，如果 $\underline{\boldsymbol{m}}, \underline{\boldsymbol{f}}$ 分别表示对偶坐标系统中的向量$\boldsymbol{m} \in M^6, \boldsymbol{f} \in F^6$，那么 $$ \begin{equation}\label{equa_2_12} \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{f} = \underline{\boldsymbol{m}}^T \underline{\boldsymbol{f}} \end{equation} $$ 这意味着针对运动和力，我们需要不同的坐标变换矩阵。如果矩阵 $\boldsymbol{X}$ 是作用在运动向量上对的坐标变换矩阵， $\boldsymbol{X}^*$ 作用在力向量上，那么有关系: $$ \begin{equation}\label{equa_2_13} \boldsymbol{X}^* = \boldsymbol{X}^{-T} \end{equation} $$ 因为对于所有的$\underline{\boldsymbol{m}}$和$\underline{\boldsymbol{f}}$，都有$\underline{\boldsymbol{m}}^T\underline{\boldsymbol{f}} = \left(\boldsymbol{X\underline{m}}\right)^T\left(\boldsymbol{X}^*\underline{\boldsymbol{f}}\right)$，所以得出上式($\ref{equa_2_13}$)。

2.7 应用空间向量(Using Spatial Vectors)

空间向量是用来表达和分析刚体及刚体系统动力学的工具。本小节将列举一个应用空间向量的规则清单，描述了空间向量及其物理内涵。清单的最后几项涉及了一些我们尚未介绍的内容，如加速度、动量、惯性。

usage: $M^6$中的元素描述了刚体的运动，比如说：速度、加速度、无穷小位移、运动自由度和约束的方向等。$F^6$中的元素描述作用在刚体上的力，以及于力相关的量，比如：动量、冲量、力的自由度和约束的方向。

唯一性(uniqueness):$M^6$中的元素与刚体所有可能的运动之间存在一个1:1的映射关系，一一映射? 同样的在$F^6$的元素和所有可能作用在刚体上的力之间也存在一个1:1的映射关系。

相对速度(relative velocity):如果刚体$B_1$和$B_2$分别有速度$\boldsymbol{v}_1$和$\boldsymbol{v}_2$，那么$B_2$相对于$B_1$的相对速度是 $\boldsymbol{v}_{rel} = \boldsymbol{v}_2 - \boldsymbol{v}_1$。

刚性连接(rigid connection): 如果两个物体之间是刚性连接，那么它们的速度就是一样的。

合力(summation of forces):如果力$\boldsymbol{f}_1$和$\boldsymbol{f}_2$都作用在相同的刚体上，那么它们等效于一个力$\boldsymbol{f}_{tot} = \boldsymbol{f}_1 + \boldsymbol{f}_2$

作用与反作用力(action and reaction):如果刚体 $B_1$ 在刚体 $B_2$ 产生了作用$\boldsymbol{f}$，那么$B_2$就会产生一个反作用力$-\boldsymbol{f}$给$B_1$。

标量积(scalar product):如果一个力$\boldsymbol{f}$作用到一个刚体上，并且具有速度$\boldsymbol{v}$，那么该力发出的功率为$\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{v}$。

scaling:相比于上一条，一个力$\alpha \boldsymbol{f}$ 作用到具有速度$\beta \boldsymbol{v}$ 的刚体上将产生$\alpha\beta$倍的功率。一个以速度$\boldsymbol{v}$匀速运动的刚体，运动$\alpha$个时间单位所产生的位移，与以速度$\alpha \boldsymbol{v}$匀速运动一个时间单位产生的位移相同。

加速度(acceleration):空间加速度是空间速度的变化率。空间加速度也是一个向量，它准从于速度相同的矢量和运算规则。比如说，如果$\boldsymbol{v}_{rel} = \boldsymbol{v}_2 - \boldsymbol{v}_1$，那么$\boldsymbol{a}_{rel} = \boldsymbol{a}_2 - \boldsymbol{a}_1$。

惯性和(summation of inertias):如果刚体$B_1$和$B_2$分别有惯性$\boldsymbol{I}_i, \boldsymbol{I}_2$，并且它们刚性连接在一起构成一个刚体，那么整体的惯性就是$\boldsymbol{I}_1 + \boldsymbol{I}_2$

动量(momentum):如果一个刚体有空间惯性$\boldsymbol{I}$ 和速度$\boldsymbol{v}$，那么它的动量就是$\boldsymbol{Iv}$。

运动方程(equation of motion):刚体动量的变化率等于作用在其上的力，即，$\boldsymbol{f} = \text{d}/\text{d}t(\boldsymbol{Iv})$。如果我们计算该微分，有$\boldsymbol{f} = \boldsymbol{Ia} + \boldsymbol{v} \times^* \boldsymbol{Iv}$。

图 2.4. 运动链

Example 2.3: 图 2.4中描述了一堆刚体，它们铰接在一起形成了一条运动链，其一端与一个固定的基座铰接。具有这样结构的一种经典系统就是工业机械臂。在该系统中一共有$N$个移动的刚体和$N$个关节，我们把固定的基座记为 0，那么第$i$个关节从刚体$i -1$连接到刚体$i$。我们采用"从-到"句式(from-to)描述这种关节的连接关系，这样可以通过关节的速度(velocity across the joint)描述 '到to' 刚体相对于 '从from' 刚体的相对速度。如果$\boldsymbol{v}_{Ji}$ 是关节 $i$ 的速度，刚体$i$的速度是$\boldsymbol{v}_i$，那么有 $\boldsymbol{v}_{Ji} = \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_{i-1}$。

我们应该假设每个关节只有一个运动自由度，那么$\boldsymbol{v}_{Ji}$可以描述成一个标量乘上一个运动向量，即，$\boldsymbol{v}_{Ji} = \boldsymbol{s}_i \dot{q}_i$。其中，$\boldsymbol{s}_i$和$\dot{q}_i$是关节$i$的轴向量和速度。如果关节$i$是个旋转关节，那么$\boldsymbol{s}_i$将是一个单位旋转向量。此是，若$\dot{q}_i = 1$，则$\boldsymbol{v}_{Ji}$也是一个单位旋转速度矢量。如果关节$i$是个平移关节，那么$\boldsymbol{s}_i$将是一个单位平移向量。固定基座的速度为0，即$\boldsymbol{v}_0 = \boldsymbol{0}$，那么对于该系统中的每一个刚体，我们可以写出其速度关系: $$ \begin{equation}\label{equa_2_16} \boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{v}_{i-1} + \boldsymbol{s}_i \dot{q}_i \end{equation} $$ 根据这个等式，我们集义从基座开始依次计算得到各个刚体的速度。我们也可以将上式写成如下的形式: $$ \begin{equation}\label{equa_2_17} \boldsymbol{v}_i = \sum_{j=1}^i \boldsymbol{s}_j \dot{q}_j \end{equation} $$ 从计算的角度来讲，式($\ref{equa_2_16}$)比($\ref{equa_2_17}$)的效率高，因为它复用了之前的计算结果。我们还可以将之写成矩阵的形式: $$ \begin{equation}\label{equa_2_18} \boldsymbol{v}_i = \begin{bmatrix} \boldsymbol{s}_1 & \boldsymbol{s}_2 & \cdots & \boldsymbol{s}_i & \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{q}_1 \\ \vdots \\ \dot{q}_N \end{bmatrix} = \boldsymbol{J}_i \dot{\boldsymbol{q}} \end{equation} $$ 其中，$\boldsymbol{J}_i$ 是一个$6\times N$的矩阵，被称为刚体$i$的雅可比矩阵，$\dot{\boldsymbol{q}}$ 是关节空间(joint-space)的速度向量。

2.8 坐标变换(Coordinate Transforms)

我们把运动向量从 A 到 B 的坐标变换写成${}^B\!\boldsymbol{X}_A$，力向量的坐标变换写成${}^B\!\boldsymbol{X}^*_A$。两者之间具有关系 ${}^B\!\boldsymbol{X}^*_A = {}^B\!\boldsymbol{X}^{-T}_A$，参见式($\ref{equa_2_13}$)。本节我们将要讨论普吕克坐标系统的坐标变换公式。

记$A$和$B$分别是两个普吕克坐标系，都是由笛卡尔坐标系的位置和方向构成的，每个坐标系都对应一个笛卡尔坐标系。为了表述方便，我们不在符号上区分普吕克坐标系和笛卡尔坐标系。坐标变换${}^B\!\boldsymbol{X}_A$只和$B$相对于$A$的位置和姿态有关，所以它可以写成两个简单的变换：一个描述$B$的相对位置，另一个描述它的相对姿态。

旋转(Rotation)

若$A$和$B$的笛卡尔坐标系的原点重合在点$O$，那么，给定$O$任何运动向量$\hat{\boldsymbol{m}} \in M^6$ 都可以由两个3D向量表示，$\boldsymbol{m}, \boldsymbol{m}_O$，向量$\hat{\boldsymbol{m}}$就是普吕克坐标，对应的$\boldsymbol{m}, \boldsymbol{m}_O$则是其笛卡尔坐标。考虑到坐标系，我们用${}^A\!\hat{\boldsymbol{m}}, {}^A\!\boldsymbol{m}, {}^A\!\boldsymbol{m}_O, {}^B\!\hat{\boldsymbol{m}}, {}^B\!\boldsymbol{m}, {}^B\!\boldsymbol{m}_O$ 分别表示运动向量在$A,B$两个坐标系下的普吕克和笛卡尔坐标。令$E$为从$A$到$B$$3\times3$的旋转矩阵。我们有： $$ {}^B\!\hat{\boldsymbol{m}} = \begin{bmatrix} {}^B\!\boldsymbol{m} \\ {}^B\!\boldsymbol{m}_O \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} {}^A\!\boldsymbol{m} \\ E {}^A\!\boldsymbol{m}_O \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{E} \end{bmatrix} {}^A\!\hat{\boldsymbol{m}} $$ 所以，有： $$ \begin{equation}\label{equa_2_19} {}^B\!\boldsymbol{X}_A = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{E} \end{bmatrix} \end{equation} $$ 力向量的坐标变换也完全一样，因为旋转矩阵的转置就是它的逆$E^T = E^{-1}$。 $$ \begin{equation}\label{equa_2_20} {}^B\!\boldsymbol{X}^*_A = {}^B\!\boldsymbol{X}^{-T}_A = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{E} \end{bmatrix} \end{equation} $$

平移(Translation)

我们在空间中两个点$O,P$上分别建立一个笛卡尔坐标系，并保证这两个坐标系的姿态相同。那么在$O$点，运动向量$\hat{\boldsymbol{m}} \in M^6$由 3D 向量 $\boldsymbol{m}, \boldsymbol{m}_O$ 构成，在$P$点，则为$\boldsymbol{m}, \boldsymbol{m}_P$，并且有， $\boldsymbol{m}_P = \boldsymbol{m}_O - \vec{OP} \times \boldsymbol{m}$，参见公式($\ref{equa_2_1}$)。所以我们有 $$ \hat{\boldsymbol{m}}_P = \begin{bmatrix} \boldsymbol{m} \\ \boldsymbol{m}_P \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{m} \\ \boldsymbol{m}_O - \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & \boldsymbol{0} \\ -\boldsymbol{r} \times & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \hat{\boldsymbol{m}}_O $$ 其中，$\boldsymbol{r} = \vec{OP}$。因此有 $$ \begin{equation}\label{equa_2_21} {}^P\!\boldsymbol{X}_O = \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & \boldsymbol{0} \\ -\boldsymbol{r}\times & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \end{equation} $$ 对应的，力向量的变换为: $$ \begin{equation}\label{equa_2_22} {}^P\!\boldsymbol{X}^*_O = {}^P\!\boldsymbol{X}^{-T}_O = \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & -\boldsymbol{r} \times \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \end{equation} $$ 操作符$\boldsymbol{a}\times$作用到向量 $\boldsymbol{b}$ 相当于这两个向量的叉乘，即，$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$。如果$\boldsymbol{a}$是一个3D坐标向量，那么$\boldsymbol{a}\times$ 是一个 $3\times3$的矩阵: 参见斜对称矩阵 $$ \begin{equation}\label{equa_2_23} S(\boldsymbol{v}) = \begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix} \end{equation} $$

表 2.1列举了该操作符的一些数学特性。此外，我们需要把$\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$，看做$(\boldsymbol{a}\times)(\boldsymbol{b}\times)\boldsymbol{c}$，或者$\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})$。表达式$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}$ 和 $\boldsymbol{E} \boldsymbol{a}\times$的意思是， $\boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$ 和 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{a}\times)$。

表 2.1 欧式叉乘操作的一些性质.
Properties of the Euclidean cross operator

$\boldsymbol{a} \times = - \boldsymbol{a} \times ^T$
$(\lambda \boldsymbol{a}) \times = \lambda(\boldsymbol{a} \times)$	$\lambda$ 是一个标量
$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \times = \boldsymbol{a}\times + \boldsymbol{b}\times$
$(\boldsymbol{Ea}) \times = \boldsymbol{E} (\boldsymbol{a}\times) \boldsymbol{E}^{-1}$	$\boldsymbol{E}$ 是正交矩阵
$(\boldsymbol{a} \times) \boldsymbol{b} = -(\boldsymbol{b} \times)\boldsymbol{a}$
$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\cdot = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b}\times)$	$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})^T = \boldsymbol{a}^T\boldsymbol{b}\times$
$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times = (\boldsymbol{a} \times) (\boldsymbol{b} \times) - (\boldsymbol{b}\times)(\boldsymbol{a}\times)$
$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times = \boldsymbol{b} \boldsymbol{a}^T - \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T$
$(\boldsymbol{a} \times)(\boldsymbol{b}\times) = \boldsymbol{b} \boldsymbol{a}^T - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{1}_{3\times 3}$

表 2.2 普吕克变换和旋转的一些公式.
Functions for rotations and Plücker transforms

$$ \text{rx}(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & s \\ 0 & -s & c \end{bmatrix} $$	$$ \text{ry}(\theta) = \begin{bmatrix} c & 0 & -s \\ 0 & 1 & 0 \\ s & 0 & c \end{bmatrix} $$	$$ \text{rz}(\theta) = \begin{bmatrix} c & s & 0 \\ -s & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
$$ c = \cos(\theta), \quad s = \sin(\theta) $$
$$ \text{rot}(\boldsymbol{E}) = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{E} \end{bmatrix} $$	$$ \text{xlt}(\boldsymbol{r}) = \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & \boldsymbol{0} \\ -\boldsymbol{r}\times & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} $$	$$ \begin{array}{rcl} \text{rotx}(\theta) & = & \text{rot}(\text{rx}(\theta)) \\ \text{roty}(\theta) & = & \text{rot}(\text{ry}(\theta)) \\ \text{rotz}(\theta) & = & \text{rot}(\text{rz}(\theta)) \\ \end{array} $$

一般变换(General Transforms)

假设$A,B$分别是原点在$O,P$上的笛卡尔坐标系，令$\boldsymbol{r}$为$A$坐标系下$\vec{OP}$的向量，$\boldsymbol{E}$为从$A$到$B$的3D旋转矩阵。那么从$A$到$B$的普吕克变换可以写成它们乘积，运动向量的变换公式可以写成如下的形式: $$ \begin{equation}\label{equa_2_24} {}^B\!\boldsymbol{X}_A = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{E} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & \boldsymbol{0} \\ -\boldsymbol{r}\times & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{0} \\ -\boldsymbol{E}\boldsymbol{r}\times & \boldsymbol{E} \end{bmatrix} \end{equation} $$ 力向量的变换公式为: $$ \begin{equation}\label{equa_2_25} {}^B\!\boldsymbol{X}^*_A = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{E} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & -\boldsymbol{r}\times \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} & -\boldsymbol{E}\boldsymbol{r}\times \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{E} \end{bmatrix} \end{equation} $$ 这两个变换的逆则是: $$ \begin{equation}\label{equa_2_26} {}^A\!\boldsymbol{X}_B = \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{r}\times & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{E}^T & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{E}^T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E}^T & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{E}^T & \boldsymbol{E}^T \end{bmatrix} \end{equation} $$ 和 $$ \begin{equation}\label{equa_2_27} {}^A\!\boldsymbol{X}^*_B = \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & \boldsymbol{r}\times \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{E}^T & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{E}^T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E}^T & \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{E}^T \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{E}^T \end{bmatrix} \end{equation} $$ 作为对比，从$A$到$B$的$4 \times 4$齐次变换矩阵为: $$ \begin{equation}\label{equa_2_28} {}^B\!\boldsymbol{T}_A = \begin{bmatrix} \boldsymbol{E} & -\boldsymbol{Er} \\ \boldsymbol{0} & 1 \end{bmatrix} \end{equation} $$ 为了方便表述普吕克变换，我们有时会使用表 2.2中列举的函数。比如，式($\ref{equa_2_24}$)就可以写成${}^B\!\boldsymbol{X}_A = \text{rot}(\boldsymbol{E}) \text{xlt}(\boldsymbol{r})$。最后，我们对这些符号表述的坐标变换进行一些说明。${}^B\!\boldsymbol{X}_A$ 或者 ${}^B\!\boldsymbol{E}_A$ 描述的是，我们该如何移动坐标系$A$，使之与坐标系$B$重合。比如，表达式 $\text{rotx}(\theta)$ 表述的是绕着 $x$ 轴转动 $\theta$ 角，它所对应的 ${}^B\!\boldsymbol{X}_A$，就是在讲坐标系$B$相对于坐标系$A$绕着$x$轴转动了$\theta$角。

2.9 空间叉积(Spatial Cross Products)

若一个欧式向量$\boldsymbol{r} \in E^3$以角速度$\boldsymbol{\mathcal{w}}$转动，没有其他运动。该向量的微分可以通过著名的公式$\dot{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \boldsymbol{r}$得到。此时，$\boldsymbol{\mathcal{w}}\times$就像是一个微分操作符，将$\boldsymbol{r}$映射到$\dot{\boldsymbol{r}}$。这一思想也可以扩展到空间向量中，但是我们需要两个操作符，一个用于用于运动向量，一个用于力向量。

假设刚体的空间运动向量$\hat{\boldsymbol{m}}\in M^6$和空间力向量$ \hat{\boldsymbol{f}} \in F^6$以速度$\hat{\boldsymbol{v}} \in M^6$运动。我们定义两个新的操作符$\times$ 和$\times^*$，满足如下的公式。这两个操作符具有类似坐标变换矩阵$\boldsymbol{X}$和$\boldsymbol{X}^*$的特性，可以说$\times$和$\times^*$具有对偶关系。

$$ \begin{equation}\label{equa_2_29} \dot{\hat{\boldsymbol{m}}} = \hat{\boldsymbol{v}} \times \hat{\boldsymbol{m}} \end{equation} $$ $$ \begin{equation}\label{equa_2_30} \dot{\hat{\boldsymbol{f}}} = \hat{\boldsymbol{v}} \times^* \hat{\boldsymbol{f}} \end{equation} $$

下图以叉积表的形式给出了这两个操作符的含义。假设空间向量以表中左侧所列的速度运动，那么其各元素都是表头所列的基向量的微分。比如说，图 2.5(a)一个坐标系正以$\boldsymbol{d}_{Ox}$的速度运动，这意味着，它将以单位角速率绕着直线$Ox$转动了$\delta t$时间。该运动并不会对$Ox$有什么影响，反而会让$Oy$在y-z平面上转动$\delta t$弧度。

图 2.5. 空间叉积表。

所以我们有$\boldsymbol{d}_{Ox}(t + \delta t) = \boldsymbol{d}_{Ox}(t)$， $\boldsymbol{d}_{Oy}(t + \delta t) = \boldsymbol{d}_{Oy}(t) + \delta t \boldsymbol{d}_{Oz}$，其关于时间的导数为: $$ \begin{align} \frac{\text{d}}{\text{d}t} \boldsymbol{d}_{Ox} & = \lim_{\delta \to 0} \frac{\boldsymbol{d}_{Ox}(t + \delta t) - \boldsymbol{d}_{Ox}(t)}{\delta t} \\ & = \lim_{\delta \to 0} \frac{\boldsymbol{d}_{Ox}(t) - \boldsymbol{d}_{Ox}(t)}{\delta t} = \boldsymbol{0} \end{align} $$ 而 $$ \begin{align} \frac{\text{d}}{\text{d}t} \boldsymbol{d}_{Oy} & = \lim_{\delta \to 0} \frac{\boldsymbol{d}_{Oy}(t + \delta t) - \boldsymbol{d}_{Oy}(t)}{\delta t} \\ & = \lim_{\delta \to 0} \frac{\boldsymbol{d}_{Oy}(t) + \delta t \boldsymbol{d}_{Oz} - \boldsymbol{d}_{Oy}(t)}{\delta t} = \boldsymbol{d}_{Oz} \end{align} $$ 这正是第一个表中第一行的前两个元素。类似的，图 2.5(b)描述的是坐标系以$\boldsymbol{d}_x$的速度运动了$\delta t$的时间，该运动同样对$Ox$没有影响，但会导致$Oy$沿$x$方向平移了$\delta t$个长度单位。因此，我们有$\boldsymbol{d}_{Ox}(t + \delta t) = \boldsymbol{d}_{Ox}(t)$。意味着 $\dot{\boldsymbol{d}}_{Ox} = \boldsymbol{0}$。而$\boldsymbol{d}_{Oy}(t + \delta t) = \boldsymbol{d}_{Oy}(t) + \delta t \boldsymbol{d}_z$，即， $\dot{\boldsymbol{d}}_{Oy} = \boldsymbol{d}_z$。这是第一个表中第四行的前两项。表中的其它项都可以类似的方式得到。

通过图 2.5的映射表，我们可以将$\hat{\boldsymbol{v}}\times$ 和 $\hat{\boldsymbol{v}}\times^*$ 的$6 \times 6$矩阵写成普吕克坐标的形式:

$$ \begin{equation}\label{equa_2_31} \hat{\boldsymbol{v}}_{O} \times = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}} \\ \boldsymbol{v}_O \end{bmatrix} \times = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}}\times & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{v}_O \times & \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \end{bmatrix} \end{equation} $$ $$ \begin{equation}\label{equa_2_32} \hat{\boldsymbol{v}}_O \times ^* = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}} \\ \boldsymbol{v}_O \end{bmatrix} \times ^* = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}} \times & \boldsymbol{v}_O \times \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \end{bmatrix} = - \left(\hat{\boldsymbol{v}}_O \times \right)^T \end{equation} $$

两个空间向量的叉积可以写成如下的形式，表 2.3中还列举了空间向量叉积的其他一些性质。

$$ \begin{equation}\label{equa_2_33} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}} \\ \boldsymbol{v}_O \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \boldsymbol{m} \\ \boldsymbol{m}_O \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \boldsymbol{m} \\ \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \boldsymbol{m}_O + \boldsymbol{v}_O \times \boldsymbol{m} \end{bmatrix} \end{equation} $$ $$ \begin{equation}\label{equa_2_34} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}} \\ \boldsymbol{v}_O \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_O \\ \boldsymbol{f} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \boldsymbol{f}_O + \boldsymbol{v}_O \times \boldsymbol{f} \\ \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \boldsymbol{f} \end{bmatrix} \end{equation} $$

表 2.3 空间叉积运算符的一些特性.
Properties of the spatial cross operators

表 2.4 向量形式的微分公式.
Differentiation formulae for vector expressions

2.10 微分(Differentiation)

向量的微分定义与标量的一样。如果$\boldsymbol{v}(x)$是关于标量$x$的向量函数，并且可微，那么它的微分定义为: $$ \begin{equation}\label{equa_2_35} \frac{\text{d}}{\text{d}x} \boldsymbol{v}(x) = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\boldsymbol{v}(x + \delta x) - \boldsymbol{v}(x)}{\delta x} \end{equation} $$ 对向量的微分，实际上是对它的各个元素的微分，因此上式可以展开成如下的形式: $$ \frac{\text{d}}{\text{d}x} \begin{bmatrix} v_1(x) \\ \vdots \\ v_n(x) \end{bmatrix} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{1}{\delta x}\begin{bmatrix} v_1(x + \delta x) - v_1(x) \\ \vdots \\ v_n(x + \delta x) - v_n(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\text{d} v_1}{\text{d} x} \\ \vdots \\ \frac{\text{d} v_n}{\text{d} x} \end{bmatrix} $$ 上式也适用于矩阵和 dyadics。大多数时候，我们都在研究关于时间的微分，常常将微分运算写成点的形式，即，$\text{d}\boldsymbol{v} / \text{d} t = \dot{\boldsymbol{v}}, \text{d}\dot{\boldsymbol{v}} / \text{d} t = \ddot{\boldsymbol{v}}$。向量的微分仍然是一个向量，运动向量的微分还是运动向量，力向量的微分还是力向量。表 2.4 中列举了多种向量的微分公式。

运动坐标的微分(Differentiation in Moving Coordinates)

运动坐标的微分问题是，将一个坐标向量$\boldsymbol{v}$，映射到另一个坐标向量$\dot{\boldsymbol{v}}$。如果基向量是固定的，那么它的解就是坐标向量的各个分量的微分。否则，运动坐标的微分还需要考虑基向量的运动。

假设普吕克坐标系$A$正以空间速度$\boldsymbol{v}_A$相对于一个笛卡尔坐标系运动。我们有两个坐标向量${}^A\!\boldsymbol{m}, {}^A\!\boldsymbol{f}$，分别表示空间向量$\boldsymbol{m} \in M^6, \boldsymbol{f} \in F^6$。那么在$A$坐标系下这两个向量的微分$\dot{\boldsymbol{m}}, \dot{\boldsymbol{f}}$可以写作:

$$ \begin{equation}\label{equa_2_36} {}^A\!\left(\frac{\text{d}\boldsymbol{m}}{\text{d} t}\right) = \frac{\text{d}{}^A\!\boldsymbol{m}}{\text{d}t} + {}^A\!\boldsymbol{v}_A \times {}^A\!\boldsymbol{m} \end{equation} $$ $$ \begin{equation}\label{equa_2_37} {}^A\!\left(\frac{\text{d}\boldsymbol{f}}{\text{d} t}\right) = \frac{\text{d}{}^A\!\boldsymbol{f}}{\text{d}t} + {}^A\!\boldsymbol{v}_A \times^* {}^A\!\boldsymbol{f} \end{equation} $$

上式左侧是$A$坐标系下的坐标向量$\dot{\boldsymbol{m}}, \dot{\boldsymbol{f}}$，右侧的$\text{d} {}^A\!\boldsymbol{m} / \text{d} t$ 和 $\text{d} {}^A\!\boldsymbol{f}/\text{d}t$表示${}^A\!\boldsymbol{m}, {}^A\!\boldsymbol{f}$逐项微分的向量， ${}^A\!\boldsymbol{v}_A$则是坐标向量$\boldsymbol{v}_A$在$A$坐标系下的表达。这个形式与3D欧式向量的微分形式类似：

$$ \begin{equation}\label{equa_2_38} {}^A\!\left(\frac{\text{d}\boldsymbol{u}}{\text{d}t} = \frac{\text{d}{}^A\!\boldsymbol{u}}{\text{d} t} + {}^A\!\boldsymbol{\mathcal{w}}_A \times {}^A\!\boldsymbol{u} \right) \end{equation} $$

式中，$\boldsymbol{u} \in E^3$是被微分的3D欧式向量，$\boldsymbol{\mathcal{w}}_A$是坐标系的角速度矢量。需要注意的是，我们在后续章节中介绍动力学算法的时候，会尽量避免在移动的坐标系中求微分。通常会选择一个，在当前瞬时与目标坐标系恰好重合的，静止坐标系。

点、圈符号(Dot and Ring Notation)

符号${}^A\!\dot{\boldsymbol{m}}$是有歧义的，我们搞不清楚它是想表达的是${}^A\!(\text{d}\boldsymbol{m}/\text{d}t)$还是$\text{d}({}^A\!\boldsymbol{m}/\text{d}t)$。因此，对于任意的抽象向量$\boldsymbol{v}$，及其在指定坐标系$A$下的坐标向量${}^A\!\boldsymbol{v}$，我们做如下约定:

$$ {}^A\!\dot{\boldsymbol{v}} = {}^A\!\left(\frac{\text{d}\boldsymbol{v}}{\text{d}t}\right) \qquad {}^A\!\mathring{\boldsymbol{v}} = \frac{\text{d}{}^A\!\boldsymbol{v}}{\text{d}t} $$

那么式($\ref{equa_2_36}$)和式($\ref{equa_2_37}$)可以写成如下的形式:

$$ \begin{equation}\label{equa_2_41} {}^A\!\dot{\boldsymbol{m}} = {}^A\!\mathring{\boldsymbol{m}} + {}^A\boldsymbol{v}_A \times {}^A\!\boldsymbol{m} \end{equation} $$ $$ \begin{equation}\label{equa_2_42} {}^A\!\dot{\boldsymbol{f}} = {}^A\!\mathring{\boldsymbol{f}} + {}^A\boldsymbol{v}_A \times^* {}^A\!\boldsymbol{f} \end{equation} $$

如果在上下文中，我们可以很容易确定坐标系的话，也可以省略到左上角标，写成:

$$ \begin{equation}\label{equa_2_43} \dot{\boldsymbol{m}} = \mathring{\boldsymbol{m}} + \boldsymbol{v}_A \times \boldsymbol{m} \end{equation} $$ $$ \begin{equation}\label{equa_2_44} \dot{\boldsymbol{f}} = \mathring{\boldsymbol{f}} + \boldsymbol{v}_A \times^* \boldsymbol{f} \end{equation} $$

符号$\mathring{\boldsymbol{m}}$和$\mathring{\boldsymbol{f}}$可以理解为，一个速度为$\boldsymbol{v}_A$的观察者眼中的$\boldsymbol{m}$和$\boldsymbol{f}$的变化率。

Example 2.4: 记$A$和$B$分别是以速度$\boldsymbol{v}_A$和$\boldsymbol{v}_B$运动的两个笛卡尔坐标系，令${}^B\!\boldsymbol{X}_A$为从$A$到$B$的普吕克坐标变换。我们可以写出如下四个等式:

$$ \begin{align} & {}^B\!\dot{\boldsymbol{m}} = {}^B\!\boldsymbol{X}_A {}^A\!\dot{\boldsymbol{m}} \\ & {}^B\!\mathring{\boldsymbol{m}} = \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left({}^B\!\boldsymbol{X}_A {}^A\!\boldsymbol{m}\right) = \left(\frac{\text{d}}{\text{d}t} {}^B\!\boldsymbol{X}_A\right) {}^A\!\boldsymbol{m} + {}^B\!\boldsymbol{X}_A {}^A\!\mathring{\boldsymbol{m}} \\ & {}^A\!\dot{\boldsymbol{m}} = {}^A\!\mathring{\boldsymbol{m}} + {}^A\!\boldsymbol{v}_A \times {}^A\!\boldsymbol{m} \\ & {}^B\!\dot{\boldsymbol{m}} = {}^B\!\mathring{\boldsymbol{m}} + {}^B\!\boldsymbol{v}_B \times {}^B\!\boldsymbol{m} \end{align} $$

我们可以按照如下关系，推导${}^B\!\boldsymbol{X}_A$的微分:

$$ \begin{align} \left(\frac{\text{d}}{\text{d}t} {}^B\!\boldsymbol{X}_A\right) {}^A\!\boldsymbol{m} & = {}^B\!\mathring{\boldsymbol{m}} - {}^B\!\boldsymbol{X}_A {}^A\!\mathring{\boldsymbol{m}} \\ & = {}^B\!\dot{\boldsymbol{m}} - {}^B\!\boldsymbol{v}_B \times {}^B\!\boldsymbol{m} - {}^B\!\boldsymbol{X}_A \left( {}^A\!\dot{\boldsymbol{m}} - {}^A\!\boldsymbol{v}_A \times {}^A\!\boldsymbol{m} \right) \\ & = {}^B\!\dot{\boldsymbol{m}} - {}^B\boldsymbol{X}_A {}^A\!\dot{\boldsymbol{m}} - {}^B\!\boldsymbol{v}_B \times {}^B\!\boldsymbol{X}_A {}^A\boldsymbol{m} + {}^B\!\boldsymbol{X}_A {}^A\!\boldsymbol{v}_A \times {}^A\!\boldsymbol{m} \\ & = \left({}^B\!\boldsymbol{X}_A {}^A\!\boldsymbol{v}_A \times - {}^B\!\boldsymbol{v}_B \times {}^B\!\boldsymbol{X}_A\right) {}^A\!\boldsymbol{m} \end{align} $$

上式对所有的${}^A\!\boldsymbol{m}$都成立，我们有:

$$ \begin{equation}\label{equa_2_45} \frac{\text{d}}{\text{d}t} {}^B\!\boldsymbol{X}_A = {}^B\!\left(\boldsymbol{v}_A - \boldsymbol{v}_B\right)\times {}^B\!\boldsymbol{X}_A \end{equation} $$

2.11 加速度(Acceleration)

刚体的空间速度关于时间的微分就是空间加速度(spatial acceleration)。因此，如果一个刚体的空间速度为$\begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}}^T & \boldsymbol{v}_O^T \end{bmatrix}^T$，那么它的空间加速度就是: $$ \begin{equation}\label{equa_2_46} \hat{\boldsymbol{a}}_O = \frac{\text{d}}{\text{d}t} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}} \\ \boldsymbol{v}_O \end{bmatrix} = \lim_{\delta t \to 0} \frac{1}{\delta t} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}}(t + \delta t) - \boldsymbol{\mathcal{w}}(t) \\ \boldsymbol{v}_O(t + \delta t) - \boldsymbol{v}_O(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{\boldsymbol{\mathcal{w}}} \\ \dot{\boldsymbol{v}}_O \end{bmatrix} \end{equation} $$ 这个定义看起来很显然，但是对于那些熟悉刚体加速度的传统表示方法的人来说，会有点不太适应。如下图 2.6所示，一个刚体绕着空间中一个固定的轴线匀速转动。有人可能认为，刚体有一个固定的空间速度，那么它的空间加速度就应该是零呀。实际上，刚体的整个运动过程都是都是在做圆周运动，因此它一直有加速度。这个悖论很好解。首先，空间加速度描述的是整个刚体的属性，而不是刚体上某个点的属性。其次，$\boldsymbol{v}_O$也不是刚体上某个点的速度，而是通过$O$的点流(flow of points)的测量值。因此，$\dot{\boldsymbol{v}}_O$不是一个点的加速度，而是点流的变化率。如果点流是恒定的，那么即使每个点有加速度，$\dot{\boldsymbol{v}}_O$也还是0。

图 2.6. 匀速转动的刚体加速度

图 2.7. 从$\ddot{\boldsymbol{r}}$ 计算 $\dot{\boldsymbol{v}}_O$

现在我们来对比一下空间加速度与传统描述加速度的方法。假设刚体上有一个点$O'$在瞬时$t$与点$O$重合，其位置矢量为$\boldsymbol{r}$。那么点$O'$的速度矢量为$\dot{\boldsymbol{r}}$，加速度矢量为$\ddot{\boldsymbol{r}}$。在传统的教科书中，刚体的加速度将由两个3D向量$\dot{\boldsymbol{\mathcal{w}}}$和$\ddot{\boldsymbol{r}}$表示。我们先来看一下$\dot{\boldsymbol{v}}_O$与$\ddot{\boldsymbol{r}}$的差异，根据式($\ref{equa_2_46}$)，我们有: $$ \dot{\boldsymbol{v}}_O = \lim_{\delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{v}_O(t + \delta t) - \boldsymbol{v}_O(t)}{\delta t} $$ 因为$O'$在瞬时$t$与$O$重合，所以$\boldsymbol{v}_O(t) = \dot{\boldsymbol{r}}(t)$，但是$\boldsymbol{v}_O(t+\delta t)$ 并不等于$\dot{\boldsymbol{r}}(t + \delta t)$，因为此时$O'$偏离$O$点$\delta t \dot{\boldsymbol{r}}(t)$了，如图 2.7所示，所以: $$ \boldsymbol{v}_O(t + \delta t) = \dot{\boldsymbol{r}}(t + \delta t) - \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \delta t \dot{\boldsymbol{r}}(t) $$ 代入上式，有: $$ \begin{align}\label{equa_2_47} \dot{\boldsymbol{v}}_O & = \lim_{\delta t \to 0} \frac{\dot{\boldsymbol{r}}(t + \delta t) - \dot{\boldsymbol{r}}(t) - \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \delta t \dot{\boldsymbol{r}}(t)}{\delta t} \\ & = \ddot{\boldsymbol{r}} - \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \dot{\boldsymbol{r}} \end{align} $$ 因此有: $$ \begin{equation}\label{equa_2_48} \hat{\boldsymbol{a}}_O = \begin{bmatrix} \dot{\boldsymbol{\mathcal{w}}} \\ \ddot{\boldsymbol{r}} - \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \dot{\boldsymbol{r}} \end{bmatrix} \end{equation} $$ 对应的，我们定义一个新的 6D 向量 $$ \hat{\boldsymbol{a}}_O' = \begin{bmatrix} \dot{\boldsymbol{\mathcal{w}}} \\ \ddot{\boldsymbol{r}} \end{bmatrix} $$ 我们称之为刚体的经典加速度(classical acceleration)，在传统的方式中，用两个3D向量来描述刚体加速度。经典加速度的物理意义是空间向量在原点为$O'$的普吕克坐标系中的微分，不是$O$，意味着该坐标系有一个线速度$\dot{\boldsymbol{r}}$。根据式($\ref{equa_2_43}$)的定义，$\hat{\boldsymbol{a}}_O$和$\hat{\boldsymbol{a}}_O'$具有如下的关系: $$ \begin{equation}\label{equa_2_50} \hat{\boldsymbol{a}}_O = \hat{\boldsymbol{a}}_O' + \begin{bmatrix} \boldsymbol{0} \\ \dot{\boldsymbol{r}} \end{bmatrix} \times \hat{\boldsymbol{v}}_O \end{equation} $$ 空间加速度的优势在于它却是是一个向量，并且满足一些运算规则。比如说，如果$\hat{\boldsymbol{v}}_1$ 和$\hat{\boldsymbol{v}}_1$分别是刚体$B_1, B_2$的空间速度， $B_2$相对于$B_1$的相对速度，为: $$ \hat{\boldsymbol{v}}_{rel} = \hat{\boldsymbol{v}}_2 - \hat{\boldsymbol{v}}_1 $$ 我们可以直接通过速度公式写出其空间加速度: $$ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \hat{\boldsymbol{v}}_{rel} = \frac{\text{d}}{\text{d}t} \hat{\boldsymbol{v}}_2 - \frac{\text{d}}{\text{d}t} \hat{\boldsymbol{v}}_1 \qquad \Longrightarrow \qquad \hat{\boldsymbol{a}}_{rel} = \hat{\boldsymbol{a}}_2 - \hat{\boldsymbol{a}}_1 $$ 因此，空间加速度可以像速度那样做加法。这比需要引入科氏力的传统加速度表示方法要好用一点。

Example 2.5: Example 2.3中介绍了一条运动链中计算各个刚体速度的公式。现在我们来计算它们的加速度。首先，我们定义关节$i$的加速度为$\boldsymbol{a}_{Ji}$，刚体$i$的加速度为$\boldsymbol{a}_i$。 First, we define $\boldsymbol{a}_{Ji}$ to be the acceleration across joint $i$ and $\boldsymbol{a}_i$ to be the acceleration of body $i$;有 $\boldsymbol{a}_{Ji} = \dot{\boldsymbol{v}}_{Ji}, \boldsymbol{a}_i = \dot{\boldsymbol{v}}_i$。由于空间加速度是可以相加的，我们可以立即得到: $$ \begin{equation}\label{equa_2_52} \boldsymbol{a}_{Ji} = \boldsymbol{a}_i - \boldsymbol{a}_{i-1} \end{equation} $$ 它是速度关系$\boldsymbol{v}_{Ji} = \boldsymbol{v}_i - \boldsymbol{v}_{i-1}$关于时间的微分。对$\boldsymbol{v}_{Ji} = \boldsymbol{s}_i \dot{q}_i$微分，有 $$ \begin{equation}\label{equa_2_53} \boldsymbol{a}_{Ji} = \boldsymbol{s}_i \ddot{q}_i + \dot{\boldsymbol{s}}_i \dot{q}_i \end{equation} $$ 其中$\ddot{q}_i$是关节$i$的acceleration variable。若$\boldsymbol{s}_i$是固定刚体$i$和$i-1$的运动轴，我们有 $$ \begin{equation}\label{equa_2_54} \dot{\boldsymbol{s}}_i = \boldsymbol{v}_i \times \boldsymbol{s}_i \end{equation} $$ 联立上述三个公式，有: $$ \begin{equation}\label{equa_2_55} \boldsymbol{a}_i = \boldsymbol{a}_{i-1} + \boldsymbol{s}_i \ddot{q}_i + \boldsymbol{v}_i \times \boldsymbol{s}_i \dot{q}_i \end{equation} $$ 这正是式($\ref{equa_2_16}$)的微分。式($\ref{equa_2_17}$)的微分为: $$ \begin{align}\label{equa_2_56} \boldsymbol{a}_i & = \sum_{j=1}^i \boldsymbol{s}_j \ddot{q}_j + \boldsymbol{v}_j \times \boldsymbol{s}_j \dot{q}_j \\ & = \sum_{j=1}^i \boldsymbol{s}_j \ddot{q}_j + \sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^{j-1} \boldsymbol{s}_k \times \boldsymbol{s}_j \dot{q}_j \dot{q}_k \end{align} $$ 最后，式($\ref{equa_2_18}$)的微分为: $$ \begin{equation}\label{equa_2_57} \boldsymbol{a}_i = \boldsymbol{J}_i \ddot{q} + \dot{\boldsymbol{J}}_i \dot{\boldsymbol{q}} \end{equation} $$ 其中，$\ddot{\boldsymbol{q}}$是关节空间的加速度向量，$\dot{\boldsymbol{J}}_i = \begin{bmatrix} \dot{\boldsymbol{s}}_1 & \dot{\boldsymbol{s}}_2 & \cdots & \dot{\boldsymbol{s}}_i & \boldsymbol{0} \cdots \boldsymbol{0} \end{bmatrix}$

图 2.8. 空间动量

2.12 动量(Momentum)

如图 2.8所示，一个质心为$C$的刚体在空间中运动。此时，刚体有空间速度$\hat{\boldsymbol{v}}$，参考质心有两个 3D 向量$\boldsymbol{\mathcal{w}}$和 $\boldsymbol{v}_C$。如果该刚体的质量为$m$，其关于质心的转动惯量为$\bar{\boldsymbol{I}}_C$，那么它的动量可以由两个 3D 向量表示， $\boldsymbol{h} = m \boldsymbol{v}_C$ 描述了刚体线性动量的大小和方向，它实际上是一个通过质心的线向量(line vector)。 $\boldsymbol{h}_C = \bar{\boldsymbol{I}}_C \boldsymbol{\mathcal{w}}$ 描述的是刚体的角动量。与式($\ref{equa_2_6}$)类似，刚体关于给定点$O$的动量，则是角动量和线性动量关于该点的矩之和:

$$ \boldsymbol{h}_O = \boldsymbol{h}_C + \vec{OC} \times \boldsymbol{h} $$

用符号$\hat{\boldsymbol{h}}$表示刚体的空间动量，$\hat{\boldsymbol{h}}_C$ 和 $\hat{\boldsymbol{h}}_O$ 分别是 $\hat{\boldsymbol{h}}$在普吕克坐标系下关于$C$点和$O$点的坐标向量，可以写成:

$$ \hat{\boldsymbol{h}}_C = \begin{bmatrix} \boldsymbol{h}_C \\ \boldsymbol{h} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{\boldsymbol{I}}_C \boldsymbol{\mathcal{w}} \\ m \boldsymbol{v}_C \end{bmatrix} $$ $$ \hat{\boldsymbol{h}}_O = \begin{bmatrix} \boldsymbol{h}_O \\ \boldsymbol{h} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \bar{\boldsymbol{I}}_C \boldsymbol{\mathcal{w}} + \vec{OC} \times m \boldsymbol{v}_C \\ m \boldsymbol{v}_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & \vec{OC}\times \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \hat{\boldsymbol{h}}_C $$

因为空间动量是 $F^6$ 空间中的向量，所以他们具有和空间力向量相同的代数特性。它们的空间变换可以写成${}^B\!\hat{\boldsymbol{h}} = {}^B\!\boldsymbol{X}_A^* {}^A\!\hat{\boldsymbol{h}}$， and a scalar product is defined between momenta and elements of $M^6$.不知所云，没敢翻译。图 2.8中刚体的动能为$\frac{1}{2}\hat{\boldsymbol{h}} \cdot \hat{\boldsymbol{v}}$。

2.13 惯性(Inertia)

刚体的空间惯性张量描述了其速度与动量之间的关系，建立了从空间$M^6$到空间$F^6$之间的映射关系。如果一个刚体的空间速度为$\boldsymbol{v}$，空间质量为$\boldsymbol{I}$，那额它的动量可以由下式写出: $$ \begin{equation}\label{equa_2_61} \boldsymbol{h} = \boldsymbol{I}\boldsymbol{v} \end{equation} $$ 如果 $\boldsymbol{h}$和$\boldsymbol{v}$是坐标向量，那么$\boldsymbol{I}$就是一个$6\times 6$的矩阵。我们用符号$\boldsymbol{I}_O$和$\boldsymbol{I}_C$分别表示普吕克坐标系下刚体相对于点$O$和$C$的空间质量。其中点$O$是空间中任意一点，$C$是刚体的质心。有: $$ \boldsymbol{h}_C = \begin{bmatrix} \bar{\boldsymbol{I}}_C & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & m \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \boldsymbol{v}_C $$ 如下式，只要参考原点与质心重合，惯性矩阵$\boldsymbol{I}_C$都可以写成这个形式。 $$ \begin{equation}\label{equa_2_62} \boldsymbol{I}_C = \begin{bmatrix} \bar{\boldsymbol{I}}_C & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & m \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \end{equation} $$ 对于 $\boldsymbol{h}_O$，我们有: $$ \boldsymbol{h}_O = \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & \boldsymbol{c}\times \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \boldsymbol{I}_C \boldsymbol{v}_C = \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & \boldsymbol{c}\times \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \boldsymbol{I}_C \begin{bmatrix} \boldsymbol{1} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{c}\times ^T & \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \boldsymbol{v}_O $$ 式中，$\boldsymbol{c} = \vec{OC}$，有惯性矩阵 $\boldsymbol{I}_O$: $$ \begin{equation}\label{equa_2_63} \boldsymbol{I}_O = \begin{bmatrix} \bar{\boldsymbol{I}}_C + m\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{c}\times^T & m \boldsymbol{c}\times \\ m \boldsymbol{c}\times^T & m \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \end{equation} $$ 这是普吕克坐标系下惯性矩阵的一般形式。其中$\bar{\boldsymbol{I}}_C + m \boldsymbol{c}\times\boldsymbol{c}\times^T$是刚体关于点$O$的转动惯量。由于$\bar{\boldsymbol{I}}_C$是一个对称矩阵，所以$\boldsymbol{I}_C$和$\boldsymbol{I}_O$也都是对称的。此外，如果$m > 0$并且$\bar{\boldsymbol{I}}_C$是正定的，那么$\boldsymbol{I}_C$和$\boldsymbol{I}_O$也是正定的。

惯性的 Dyadic 表示(Dyadic Representation of Inertia)

对于向量$\boldsymbol{f, g} \in F^6$，dyad $\boldsymbol{fg}\cdot$ 将运动向量 $\boldsymbol{m} \in M^6$ 映射到力向量上$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{g} \cdot \boldsymbol{m})$。 dyad 是个 $6 \times 6$ 的矩阵 $\underline{\boldsymbol{f}} \underline{\boldsymbol{g}}^T$，其中，$\underline{\boldsymbol{f}}$和$\underline{\boldsymbol{g}}$分别是 $\boldsymbol{f}$和$\boldsymbol{g}$的坐标向量。如果$\boldsymbol{f} = \boldsymbol{g}$，那么 dyad 就是对称的。空间惯性就是一个对称的 dyadic 张量，建立了$M^6$到$F^6$的映射关系。它可以写成如下的6个对称 dyad 的和: $$ \begin{equation}\label{equa_2_64} \boldsymbol{I} = \sum_{i=1}^6 \boldsymbol{g}_i \boldsymbol{g}_i \cdot \qquad (\boldsymbol{g}_i \in F^6) \end{equation} $$ 这个$\boldsymbol{g}$是从哪里来的？重力？刚体的空间质量是其内部的一个固定量，它除了作为物体运动的函数外，并不会变化。 Furthermore, a body’s spatial inertia is a quantity that is fixed in the body: it does not vary except as a function of the body’s motion. 因此可以将$\boldsymbol{I}$表示成 dyad 的和的形式，其中每个向量$\boldsymbol{g}_i$对于其描述的刚体而言都是固定的。基于此，我们可以写出空间惯性关于时间的微分形式: $$ \begin{align}\label{equa_2_65} \frac{\text{d}}{\text{d}t} \boldsymbol{I} & = \sum_{i=1}^6 \left(\dot{\boldsymbol{g}}_i \boldsymbol{g}_i \cdot + \boldsymbol{g}_i \dot{\boldsymbol{g}}_i \cdot \right) \\ & = \sum_{i=1}^6 \left(\boldsymbol{v} \times^* \boldsymbol{g}_i\right)\boldsymbol{g}_i \cdot + \sum_{i=1}^6 \boldsymbol{g}_i\left(\boldsymbol{v} \times^* \boldsymbol{g}_i\right)\cdot \\ & = \boldsymbol{v} \times ^* \sum_{i=1}^6 \boldsymbol{g}_i \boldsymbol{g}_i \cdot - \left(\sum_{i=1}^6 \boldsymbol{g}_i \boldsymbol{g}_i \cdot \right) \boldsymbol{v} \times \\ & = \boldsymbol{v}\times^* \boldsymbol{I} - \boldsymbol{I}\boldsymbol{v} \times \end{align} $$ 其中$\boldsymbol{v}$是刚体的速度。为了得到上式，我们使用了式($\ref{equa_2_30}$) 以及表 2.3 和表 2.4中的公式。根据式($\ref{equa_2_64}$)，还可以导出空间惯性的坐标变换的公式。令${}^A\boldsymbol{I}$和${}^B\boldsymbol{I}$分别表示$A$和$B$坐标系下同一刚体的空间惯性，有: $$ {}^A\!\boldsymbol{I} = \sum_{i=1}^6 {}^A\!\boldsymbol{g}_i {}^A\!\boldsymbol{g}_i^T \qquad \text{and} \qquad {}^B\!\boldsymbol{I} = \sum_{i=1}^6 {}^B\!\boldsymbol{g}_i {}^B\!\boldsymbol{g}_i^T $$ 其中，${}^A\!\boldsymbol{g}_i$和${}^B\!\boldsymbol{g}_i$分别是$A,B$坐标系中$\boldsymbol{g}_i$的坐标向量。存在关系， ${}^B\!\boldsymbol{g}_i = {}^B\!\boldsymbol{X}_A^* {}^A\!\boldsymbol{g}_i$，所以我们有: $$ \begin{align}\label{equa_2_66} {}^B\!\boldsymbol{I} & = \sum_{i=1}^6 {}^B\!\boldsymbol{X}_A^* {}^A\!\boldsymbol{g}_i {}^A\!\boldsymbol{g}_i^T \left({}^B\!\boldsymbol{X}_A^*\right)^T \\ & = {}^B\!\boldsymbol{X}_A^* {}^A\!\boldsymbol{I} {}^A\!\boldsymbol{X}_B \end{align} $$

空间 Dyadics(Spatial Dyadics)

空间惯性是从$M^6$到$F^6$的映射，除此之外，这两个空间之间还有三个映射关系，它们一起构成了四种空间 dyadic 张量。表2.5中列出了它们的一些基础性质。

表 2.5 dyadics的特性.
Properties of dyadics

其中符号$\boldsymbol{\mathit{\Phi}}$描述的是空间惯性的逆$\boldsymbol{\mathit{\Phi}} = \boldsymbol{I}^{-1}$。表中"dyad form"列描述的是各种 dyad 张量中，运动向量和力向量的组合模式。如果我们把 dyadic 看做是从 From 空间到 To 空间的映射关系，那么dyad 的第一个向量必须是 To 空间中的元素，第二个向量则是 From 空间中的元素。各个坐标变换公式分别记为相似变换(similarity transform)或者全等变换(congruence transform)。相似变换中能够保持矩阵的秩和特征值不变，但不能保持其对称性或者正定性。全等变换保持的是矩阵的秩、对称性、正定性，但是不能保持特征值。

空间惯性的特性(Propertie of Spatial Inertia)

我们已经讨论了空间惯性的坐标变换($\ref{equa_2_66}$)，关于时间的微分($\ref{equa_2_65}$)，普吕克坐标系下空间惯性的一般形式($\ref{equa_2_63}$)，以及将速度映射到动量的物理意义($\ref{equa_2_61}$)。此外空间惯性还有如下的一些特性:

定义一个空间刚体惯性，至少需要10个参数。更一般的情况，比如第7章中将要介绍的 articulated-body 惯性，需要21个参数，这是对称的$6 \times 6$矩阵中最大的独立变量数量。
由多个部件构成的刚体，其惯性是各个部件的惯性之和。
对于速度为$\boldsymbol{v}$、空间惯性为$\boldsymbol{I}$的刚体的动能为: $$ \begin{equation}\label{equa_2_67} T = \frac{1}{2} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{I} \boldsymbol{v} \end{equation} $$

2.14 运动方程(Equation of Motion)

刚体的空间运动方程的物理意义是，作用在刚体上的合力与其动量变化率相等: $$ \begin{align}\label{equa_2_68} \boldsymbol{f} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\boldsymbol{Iv}\right) & = \boldsymbol{Ia} + \left(\boldsymbol{v} \times^* \boldsymbol{I} - \boldsymbol{I}\boldsymbol{v}\times \right) \boldsymbol{v} \\ & = \boldsymbol{Ia} + \boldsymbol{v}\times^*\boldsymbol{Iv} \end{align} $$ 通常，我们把上式写成齐次线性方程的形式: $$ \begin{equation}\label{equa_2_69} \boldsymbol{f} = \boldsymbol{I}\boldsymbol{a} + \boldsymbol{p} \end{equation} $$ 其中，$\boldsymbol{I}$和$\boldsymbol{p}$是参数，$\boldsymbol{f}$和$\boldsymbol{a}$是变量。一般情况下，都会认为参数是已知的，变量有可能是未知的。 $\boldsymbol{p}$被称为偏置力(bias force)，如果$\boldsymbol{f}$是作用在刚体上的合力，那么$\boldsymbol{p} = \boldsymbol{v} \times^* \boldsymbol{Iv}$。

式($\ref{equa_2_68}$)中的$\boldsymbol{f}$表示作用在刚体上的合力，而式($\ref{equa_2_69}$)提供了一种将合力中的已知部分从$\boldsymbol{f}$分解到$\boldsymbol{p}$的方法。假设有合力$\boldsymbol{f}_{net}$是由未知力$\boldsymbol{f}_u$和已知重力$\boldsymbol{f}_g$构成。根据式($\ref{equa_2_68}$)，有: $$ \boldsymbol{f}_{net} = \boldsymbol{Ia} + \boldsymbol{v} \times^* \boldsymbol{Iv} $$ 根据式($\ref{equa_2_69}$)，我们也可以把$\boldsymbol{f}_u$放到等式的左边： $$ \boldsymbol{f}_u = \boldsymbol{Ia} + \boldsymbol{p}, \qquad \boldsymbol{p} = \boldsymbol{v} \times^* \boldsymbol{Iv} - \boldsymbol{f}_g $$

Example 2.6: 我们可以从式($\ref{equa_2_68}$)中恢复处传统的 3D 运动方程。为了简化，我们将原点放到质心处，那么式($\ref{equa_2_68}$)可以展开如下: $$ \begin{align} \begin{bmatrix} \boldsymbol{n}_C \\ \boldsymbol{f} \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} \bar{\boldsymbol{I}}_C & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & m \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{\boldsymbol{\mathcal{w}}} \\ \ddot{c} - \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \boldsymbol{v}_C \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}}\times & \boldsymbol{v}_C \times \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{\mathcal{w}}\times \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{\boldsymbol{I}}_C & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & m \boldsymbol{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}} \\ \boldsymbol{v}_C \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} \bar{\boldsymbol{I}}_C \dot{\boldsymbol{\mathcal{w}}} \\ m \ddot{\boldsymbol{c}} - m\boldsymbol{\mathcal{w}} \times \boldsymbol{v}_C \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \bar{\boldsymbol{I}}_C \boldsymbol{w} + m\boldsymbol{v}_C \times \boldsymbol{v}_C \\ m \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \boldsymbol{v}_C \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} \bar{\boldsymbol{I}}_C \dot{\boldsymbol{\mathcal{w}}} + \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \bar{\boldsymbol{I}}_C \boldsymbol{\mathcal{w}} \\ m \ddot{\boldsymbol{c}} \end{bmatrix} \end{align} $$ 在上述推到过程中，我们用了式($\ref{equa_2_48}$)，将刚体的空间加速度写成$\dot{\boldsymbol{\mathcal{w}}}, \ddot{\boldsymbol{c}}, \boldsymbol{v}_C = \dot{\boldsymbol{c}}$的形式。由此，可以推出质心的运动方程的牛顿公式: $$ \begin{equation}\label{equa_2_70} \boldsymbol{f} = m \ddot{\boldsymbol{c}} \end{equation} $$ 以及描述刚体关于其质心的旋转运动的欧拉方程: $$ \begin{equation}\label{equa_2_71} \boldsymbol{n}_C = \bar{\boldsymbol{I}}_C \dot{\boldsymbol{\mathcal{w}}} + \boldsymbol{\mathcal{w}} \times \bar{\boldsymbol{I}}_C \boldsymbol{\mathcal{w}} \end{equation} $$

2.15 惯性的逆(Inverse Inertia)

有时为了方便，我们会把运动方程写成如下的形式: $$ \begin{equation}\label{equa_2_72} \boldsymbol{a} = \boldsymbol{\mathit{\Phi}} \boldsymbol{f} + \boldsymbol{b} \end{equation} $$ 其中$\boldsymbol{\mathit{\Phi}}$是刚体惯性矩阵的逆，$\boldsymbol{b}$是它的偏置加速度，如果$\boldsymbol{f} = \boldsymbol{0}$，那么它就是刚体的加速度。如果该方程是式($\ref{equa_2_69}$)的逆，那么有$\boldsymbol{\mathit{\Phi}} = \boldsymbol{I}^{-1}$ 并且 $\boldsymbol{b} = - \boldsymbol{\mathit{\Phi}}\boldsymbol{p}$。式($\ref{equa_2_72}$)相比于式($\ref{equa_2_69}$)的优势在于它可以应用于带约束的刚体。

惯性的逆是一个从空间$F^6$映射到$M^6$的对称 dyadic 张量。表 2.5中已经列举了一些它的特性。此外，惯性的逆是$M^6$的一个子空间，刚体可以在该空间内自由移动。换句话说，惯性的逆的秩与刚体的运动自由度相等。因此，如果一个刚体的自由度少于 6 个，那么$\boldsymbol{\mathit{\Phi}}$就是奇异的，but \boldsymbol{I} will not exist. 对于一个无约束的刚体，其惯性的逆相对于质心$C$和原点$O$的普吕克坐标为: $$ \begin{equation}\label{equa_2_73} \boldsymbol{\mathit{\Phi}}_C = \begin{bmatrix} \bar{\boldsymbol{I}}_C^{-1} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \frac{1}{m}\boldsymbol{1} \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{\mathit{\Phi}}_O = \begin{bmatrix} \bar{\boldsymbol{I}}_C^{-1} & \bar{\boldsymbol{I}}_C^{-1} \boldsymbol{c}\times^T \\ \boldsymbol{c}\times \bar{\boldsymbol{I}}_C^{-1} & \frac{1}{m}\boldsymbol{1} + \boldsymbol{c}\times \bar{\boldsymbol{I}}_C^{-1} \boldsymbol{c}\times^T \end{bmatrix} \end{equation} $$ 这实际上就是$\ref{equa_2_62}$和$\ref{equa_2_63}$的逆。

2.16 平面向量(Plannar Vectors)

如果约束一个刚体平行于一个平面上运动，那么它就变成了一个平面刚体(planar rigid body)。如果刚体系统中的每个刚体被约束平行于相同的平面运动，那么他就是一个"planar"刚体系统。有很多实际的刚体系统就是平面的。

空间向量完全可以描述平面刚体的运动，因为平面运动式空间运动的一个子集。但，有时使用精简的空间向量代数——平面向量代数，来描述平面刚体会更方便。一个平面刚体有三个自由度，所以其向量空间就是$M^3$和$F^3$。推导平面向量代数的最简单方法是从空间向量代数开始，并将其限制在$x-y$平面上。本质上，就是删除第一、二、六的基向量及其相应的坐标。，即

在上面的式子中，我们移除了旋转基向量和坐标的$z$下角标。平面版的空间叉乘运算、坐标变换、惯性矩阵可以通过从$6\times6$的矩阵中抽取$3\times 3$的子矩阵获得。比如说平面叉乘运算矩阵就是:

按照类似的方式，我们可以推导出平面坐标变换矩阵的公式。如果坐标系的原点先从$(0, 0)$移动到$(x, y)$，然后在新的位置上转动了$\theta$角度，那么有: $$ \begin{equation}\label{equa_2_77} \boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c & s \\ 0 & -s & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -y & 1 & 0 \\ x & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ sx - cy & c & s \\ cx + sy & -s & c \end{bmatrix} \end{equation} $$ 其中，$c = \cos(\theta)$, $s = \sin(\theta)$。平面向量也继承了空间向量的特性: $\boldsymbol{v}\times ^* = -(\boldsymbol{v}\times)^T, \boldsymbol{X}^* = \boldsymbol{X}^{-T}$。此外，平面刚体的惯性矩阵可以写成: $$ \begin{equation}\label{equa_2_78} \boldsymbol{I} = \begin{bmatrix} I_C + m(c_x^2 + c_y^2) & - m c_y & m c_x \\ - m c_y & m & 0 \\ m c_x & 0 & m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_O & - m c_y & m c_x \\ - m c_y & m & 0 \\ m c_x & 0 & m \end{bmatrix} \end{equation} $$ 其中，$m$是质量，$c_x, c_y$分别是刚体的质心坐标，$I_C, I_O$则分别是刚体关于质心和坐标原点的转动惯量。我们只需要四个参数，就可以确定一个平面刚体的惯量。

2.17 扩展阅读

Spatial vectors resemble the twists and wrenches of screw theory, the realnumber motors and the elements of the Lie algebra $se(3)$ and its dual, $se^*(3)$. Screw 理论出现地比现代向量的概念要早，它从 19 世纪就开始发展了。 Screw 理论的主要工作是 Ball (1900)。Angeles (2003) Hunt (1978) 和 Selig (1996) 对这一理论进行了更为现代的阐述。 Motors 有两种类型: 实数范围内的 6D 矢量and 3D vectors over the ring of dual numbers. 前者的描述在 von Mises (1924a,b)，后者的描述在 Brand (1953)。空间向量和 motors 之间的主要不同在于，所有的 motors 都处在一个单向量的空间中。在这方面，Featherstone (1987) 所描述的空间向量与 motor 代数非常相似。形式上，李代数式是李群的切空间。空间$M^6$ 和 $M^3$ 分别对应李代数 $se(3)$和$se(2)$，而$F^6, F^3$ 则是它们的对偶空间，$se^*(3), se^*(2)$。 $se(3), se(2)$ 是关于特殊欧式群 $SE(3), SE(2)$ 的代数，它们是 3D 或 2D 欧几里得空间中刚体的每个可能存在的位置集合。关于李代数可以参见 Murray et al. (1994) and Selig (1996). 读者可能还会 Jain (1991); Park et al. (1995); Plücker (1866); Rodriguez et al. (1991); Woo and Freudenstein (1970) 有兴趣。当然关于 6D 是向量还有很多各种各样的参考文献。

\(\boldsymbol{a} \times = - \boldsymbol{a} \times ^T\)
\((\lambda \boldsymbol{a}) \times = \lambda(\boldsymbol{a} \times)\)	\(\lambda\) 是一个标量
\((\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \times = \boldsymbol{a}\times + \boldsymbol{b}\times\)
\((\boldsymbol{Ea}) \times = \boldsymbol{E} (\boldsymbol{a}\times) \boldsymbol{E}^{-1}\)	\(\boldsymbol{E}\) 是正交矩阵
\((\boldsymbol{a} \times) \boldsymbol{b} = -(\boldsymbol{b} \times)\boldsymbol{a}\)
\((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\cdot = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b}\times)\)	\((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})^T = \boldsymbol{a}^T\boldsymbol{b}\times\)
\((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times = (\boldsymbol{a} \times) (\boldsymbol{b} \times) - (\boldsymbol{b}\times)(\boldsymbol{a}\times)\)
\((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times = \boldsymbol{b} \boldsymbol{a}^T - \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T\)
\((\boldsymbol{a} \times)(\boldsymbol{b}\times) = \boldsymbol{b} \boldsymbol{a}^T - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{1}_{3\times 3}\)

Chapter2: 空间向量代数Spatial Vector Algebra