线性方程组的解

在上一篇文章中，我们介绍了一种一般的线性方程组的解法。在本文中，我们将对线性方程组的解进行一般性的讨论。

1. 齐次线性方程组

首先，让我们来看一中特殊的线性方程组，它的常数项均为0。因为方程组中各个未知数的次数都是相同的，都是1次的，所以称这类方程组为齐次线性方程组。 $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n & = & 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n & = & 0 \\ & \vdots & \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n & = & 0 \end{cases} $$ 很容易看出，如果各个未知数均为0方程组一定成立，所以齐次方程组一定存在一个零解。那么它是否存在非零解呢？我们将其对应的矩阵化成最简形式后，把独立变量移到等式的右侧，可以得到解的一般形式： $$ \begin{cases} x_1 & = & - a_{1,h_1}^{(k)}x_{h_1} - \cdots - a_{1, h_u}^{(k)}x_{h_u} \\ x_{j_2} & = & - a_{2,h_1}^{(k)}x_{h_1} - \cdots - a_{2, h_u}^{(k)}x_{h_u} \\ & \vdots & \\ x_{j_k} & = & - a_{k,h_1}^{(k)}x_{h_1} - \cdots - a_{k, h_u}^{(k)}x_{h_u} \end{cases} = x_{h_1} \begin{bmatrix} -a_{1,h_1} \\ -a_{2,h_1} \\ \vdots \\ -a_{k,h_1} \end{bmatrix} + \cdots + x_{h_u} \begin{bmatrix} -a_{1,h_u} \\ -a_{2,h_u} \\ \vdots \\ -a_{k,h_u} \end{bmatrix} $$ 式中$k$表示方程组中有$k$个非独立的变量，$u = n - k$为独立变量个数。令$\vec{a_1} = \begin{bmatrix} -a_{1,h_1} \\ -a_{2,h_1} \\ \vdots \\ -a_{k,h_1} \end{bmatrix}, \cdots, \vec{a_u} = \begin{bmatrix} -a_{1,h_u} \\ -a_{2,h_u} \\ \vdots \\ -a_{k,h_u} \end{bmatrix}$，那么方程组的解就可以写成向量$\vec{a_1},\cdots,\vec{a_u}$的线性组合的形式$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_{j_2} \\ \vdots \\ x_{j_k} \end{bmatrix} = x_{h_1}\vec{a_1} + \cdots + x_{h_u}\vec{a_u}$。

2. 非齐次方程组

如果常数项不全为0，那么经过各种初等行变换后得到的最简形式如下： $$ \begin{bmatrix} a_{1,1}^{(k)} & \cdots & 0 & a_{1,j_2+1}^{(k)} & \cdots & 0 & a_{1,j_k+1}^{(k)} & \cdots & b_1^{(k)} \\ & & a_{2,j_2}^{(k)} & a_{2,j_2+1}^{(k)} & \cdots & 0 & a_{2,j_k+1}^{(k)} & \cdots & b_2^{(k)} \\ & & & & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ & & & & & a_{k,j_k}^{(k)}& a_{k,j_k+1}^{(k)} & \cdots & b_k^{(k)} \\ & & & & & & & & \vdots \\ & & & & & & & & b_m^{(k)} \end{bmatrix} $$ 若要保证方程有解，则必须保证第$k$行以后的各行全为零。此时得到方程组的解为： $$ \begin{cases} x_1 & = & b_1^{(k)} - a_{1,h_1}^{(k)}x_{h_1} - \cdots - a_{1, h_u}^{(k)}x_{h_u} \\ x_{j_2} & = & b_2^{(k)} - a_{2,h_1}^{(k)}x_{h_1} - \cdots - a_{2, h_u}^{(k)}x_{h_u} \\ & \vdots & \\ x_{j_k} & = & b_k^{(k)} - a_{k,h_1}^{(k)}x_{h_1} - \cdots - a_{k, h_u}^{(k)}x_{h_u} \end{cases} = \vec{b} + x_{h_1}\vec{a_1} + \cdots + x_{h_u}\vec{a_u} $$ 其中，$\vec{b}=\begin{bmatrix} b_1^{(k)} \\ \vdots \\ b_k^{(k)} \end{bmatrix}$。可见非齐次线性方程组的解实际上，就是与之相同系数的齐次线性方程组的通解再加上向量$\vec{b}$，当$x_{h_1} = \cdots = x_{h_u} = 0$时，$\vec{b}$就是非齐次方程组的一个特解。所以，非齐次方程组的解就是一个特解再加上对应齐次方程组的通解。