力学习题

例1: 如右图所示一个曲柄连杆机构，曲柄$OA$绕固定轴$O$转动，连杆$AB$分别与曲柄$OA$和滑块$B$铰接。设$OA = R, AB = L, \theta = \omega t$。试求连杆$AB$上$P$点($AP = l$)的运动方程，分析其运动轨迹，并求滑块B的速度和加速度。

解:

根据$P$点的几何关系，可以写出其坐标： $$ \begin{bmatrix} x_P \\ y_P \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R\cos \theta + l \cos \varphi \\ (L - l)\sin \varphi \end{bmatrix} $$ 在三角形OAB中，有几何关系： $$ \cfrac{R}{\sin \varphi} = \cfrac{L}{\sin \theta} \Rightarrow \begin{array}{rcl} \sin \varphi & = & \cfrac{R}{L}\sin \theta \\ \cos \varphi & = & \sqrt{1 - \sin^2 \varphi} = \cfrac{1}{L}\sqrt{L^2 - R^2\sin^2 \theta} \end{array} $$ 将之代入$P$点的坐标，有： $$ \begin{bmatrix} x_P \\ y_P \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R\cos \theta + \cfrac{l}{L}\sqrt{L^2 - R^2\sin^2 \theta} \\ (L - l)\cfrac{R}{L}\sin \theta \end{bmatrix} $$ 从上面关于$\theta$的参数方程来看并不能直观的说明$P$的运动轨迹。下面先讨论几种特殊的情况：

当$l = 0$时，点$P$与点$A$重合。容易得到曲柄末端的运动方程，显然，这是一个圆: $x_A^2 + y_A^2 = R^2$。 $$ \begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R\cos \theta \\ R\sin \theta \end{bmatrix} $$
当$l = L$时, 点$P$与点$B$重合。容易写出滑块的运动方程，显然，这是一个直线上的往复运动。 $$ \begin{bmatrix} x_B \\ y_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R\cos \theta + \sqrt{L^2 - R^2\sin^2 \theta} \\ 0 \end{bmatrix}$$

对于一般情况，我们可以借助matlab等工具绘出图像来直观的查看$P$点的轨迹。如下图所示，为$R = 50\text{cm}, L = 100\text{cm}, l = 75\text{cm}$时$P$点的运动轨迹和matlab代码。图中横轴表示$x$坐标，纵轴表示$y$坐标。

        R = 50; L = 100; l = 75; % [cm]
        omega = 1; % [rad/s]
        
        t = [0:0.01:10];
        theta = omega * t;
        c = cos(theta);
        s = sin(theta);
        
        x = R * c + l / L * sqrt(L^2 - R^2 * power(s, 2));
        y = (L - l) * R / L * s;
        
        plot(x,y);

根据刚才讨论的第二种特殊情况，我们很容易写出滑块B的运动轨迹。 $$ x_B = R\cos (\omega t) + \sqrt{L^2 - R^2\sin^2 (\omega t)} $$ 对上式关于时间$t$求导就得到滑块B的速度： $$ v_B = \dot{x}_B = -\omega R\sin (\omega t) - \cfrac{\omega R^2 \sin (\omega t)\cos (\omega t)}{\sqrt{L^2 - R^2\sin^2 (\omega t)}} = -\omega R\sin (\omega t) - \cfrac{\omega R^2 \sin (2\omega t)}{2\sqrt{L^2 - R^2\sin^2 (\omega t)}} $$ 在对$v_B$求导，得到滑块B的加速度： $$ a_B = \dot{v}_B = -\omega^2 R\cos (\omega t) - \cfrac{\omega^2R^2\cos (2\omega t)}{\sqrt{L^2 - R^2\sin^2 (\omega t)}} + \cfrac{\omega^2R^4\sin^2(2\omega t)}{4\left(L^2 - R^2\sin^2 (\omega t)\right)^{\frac{3}{2}}} $$