机器人控制的数学物理基础
第一部分：质点力学
质点是一种理想的物理模型，它是运动空间中的一个有质量的点，而且从任何方向去观察它都是一样的，也就是所谓的各向同性。它没有大小和形状，也不涉及朝向和自转。
| 质点运动学 | 质点运动学是后面研究动力学的基础。本文中，我们主要了解质点运动的矢量表示方法， 以及直角坐标系和自然坐标系两种常见的坐标系统。 |
| 质点的转动 | 准确点说质点是不存在转动的概念的，这里讨论的是质点绕某一参考点做圆周运动。为了以后介绍刚体动力学方便，这里滥用了这一概念。实际上是在讨论质点的角速度。 |
| 质点的复合运动 | 质点的复合运动，研究质点在两个存在相对运动的坐标系下的运动关系。在一般形式下有:
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| 质点动力学的基本方程 | 本文，我们从牛顿第二定律出发研究惯性系下的质点运动微分方程，再扩展到非惯性系下，研究质点相对运动的动力学基本方程。 |
| 质点的动量、动能与动量矩 | 质点动量的改变量就是力在时间上的累积作用。 质点动能的该变量就是力在空间上累积做功的结果。 质点动量矩的改变量是力矩在时间上的累积作用。 |
| 质点系的动量、动能与动量矩 | 分析质点系运动的一种视角。平等的看待每一个质点，将它们的受力分为内力和外力两种， 通过分析质点系内部相互作用的一些特点，得到质点系的动量守恒、机械能守恒、动量矩守恒的条件。 |
| 质心动力学 | 分析质点系运动的另一种视角。把质点系的运动描述成两种运动的复合。用质心的运动来描述质点系的整体运动，再来分析各个质点相对与质心的运动。 |
第二部分：刚体动力学
关于质点这一理想的模型我们已经讨论很多了。由于质点只是空间中一个有质量的点，它没有大小和形状，也就没有方向和旋转的问题存在。所以当需要考虑所研究物体的大小、形状、旋转特点的时候， 质点这一模型就显得过于理想了。实际上根据所研究物体的各种物理特性，人们又细分出了刚体力学、流体力学等多个分支。
刚体是我们研究机器人运动时一种常用的模型，它假设在运动过程中物体不会发生形变，很刚。我们可以将之理解为空间中的一个特殊质点系，在运动过程中，任意两个质点之间的距离都不会发生变化。 在这一假设下，刚体的大小和形状就有了意义，我们除了要明确刚体在空间中的位置外，还需要确定它的方向才能完全将一个刚体固定在空间中。所以我们常说刚体具有6个自由度。
基于刚体不会发生形变这一假设，我们可以得到两个十分重要的结论：
- 刚体的角速度矢量具有唯一性。在同一时刻，刚体只有一个角速度，从刚体上任意一点观察其它点都在以相同的角速度转动。
- 刚体内部的一对内力做功之和恒为零。因为作用力与反作用力总是大小相等方向相反，若一个力做正功，那么另一个就做负功，并且大小相等。
| 刚体运动与齐次变换 | 一般我们把刚体的运动归结为一个平移运动和一个旋转运动。平移运动通过一个3D的平移向量来描述，旋转运动则通过一个\(3 \times 3\)的旋转矩阵描述。 有时为了方便会将平移向量和旋转矩阵综合为一个\(4 \times 4\)的齐次变换矩阵。 |
| 定点转动与四元数 | 描述刚体的转动，我们有旋转矩阵、旋转向量、欧拉角等多种方式。但它们都或多或少有些不便之处，后来人们通过扩展复数的表达形式，提出了基于四元数的姿态描述方法， 表达紧凑，计算方便，而且不存在奇异点，被工程上广泛使用。 |
| 定轴转动与转动惯量 | 定轴转动是刚体的一种十分常见的运动方式，本文专门来研究这一运动，主要是为了研究刚体的转动惯量的定义和计算方法。 |
| 定点转动与惯性张量 | 上一节中，我们研究刚体以\(\omega\)的角速度绕着\(z\)转动的动量矩，写出了刚体的转动惯量，最后给出了惯性张量。 本节我们研究更一般的运动形式，定点转动，进一步讨论惯性张量的物理意义。 |
- 机器人导论——分析、系统及应用