质点的复合运动
质点的运动与坐标系的选取有着重大的影响，比如说一个正在垂直起飞的四旋翼，如果我们在四旋翼上看它桨叶上的一点，就是一直在做圆周运动。 但在地面上看，该点的运动就是一个上升的螺旋线。
这就是一个质点的复合运动的例子，它涉及到两个坐标系。一个是与地面固连的坐标系，相对于地面保持静止，称之为静坐标系。
另一个是与四旋翼机体固连并随之运动的坐标系，称之为动坐标系。桨叶上的一点被称为动点。
动点相对于静坐标系的运动称为绝对运动，相对于动坐标系的运动称为
质点的复合运动在机器人系统中十分常见，比如说一个装有机械臂的移动机器人。我们可以在静坐标系下为机械臂的末端规划出一条绝对的路径， 为了控制末端按照这条规划出来的轨迹运动，往往需要将其转换到机器人的动坐标系下，计算机器人和机械臂的各个关节的控制量。
本文中，我们研究质点的复合运动，讨论在不同运动条件下，动点的相对运动与绝对运动的关系。
1. 参考点与牵连速度
如右图所示，\(t\)时刻在静止坐标系(S系)下有一点\(A\)，经过\(\Delta t\)时间之后运动到了点\(B\)， 有\(t\)和\(t+\Delta t\)时刻的绝对位置矢量\(\boldsymbol{r_A}\)和\(\boldsymbol{r_B}\)。另有一动坐标系(D系)相对于S系运动， 我们取其中与D系相对静止的点\(O'\)作为参考点，\(t\)时刻\(O'\)在S系下的位置矢量为\(\boldsymbol{r_0}\)， 此时该点观察到动点\(A\)的相对位置矢量为\(\boldsymbol{r_A'}\)。\(\Delta t\)时间之后， 该参考点运动到了\(O'(t+\Delta t)\)的位置上，发生了\(\Delta \boldsymbol{r_0}\)的位移，观察动点的相对位置矢量为\(\boldsymbol{r_B'}\)。
需要强调一点，上述场景中。参考点\(O'\)并不一定是D系的原点，但它与D系保持相对静止的状态，或者说是与D系一起运动。 因为参考点的不同，在S系下位移\(\Delta \boldsymbol{r_0}\)就不一定一样。比如说，D系与S系的原点重合，并且只有相对转动。 那么D系中离原点越远的点的位移就越大。但是如果D系与S系之间只有平移没有转动，那么参考点的选择对于\(\Delta \boldsymbol{r_0}\)就没有区别。
另外，图中\(O'(t)\)与\(O'(t + \Delta t)\)被表示成了两个点。实际在D系下，这两个完全是同一个点。为了体现D系相对于S系的运动， 这里将它描述成两个点，相对位置矢量也投影到了S系下。但是在D系下观察到动点的位移\(\Delta \boldsymbol{r'}\)仍然可以用下式来表示：
$$ \Delta \boldsymbol{r'} = \boldsymbol{r_B'} - \boldsymbol{r_A'} $$根据图中的矢量关系，我们可以写出S系下点\(A\)和\(B\)的绝对位矢：
$$ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{r_A} & = & \boldsymbol{r_0} + \boldsymbol{r_A'} \\ \boldsymbol{r_B} & = & \boldsymbol{r_0} + \Delta \boldsymbol{r_0} + \boldsymbol{r_B'} \end{array} $$因此，在S系下观察到的动点位移为：
$$ \Delta \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r_B} - \boldsymbol{r_A} = \Delta \boldsymbol{r_0} + \Delta \boldsymbol{r'} $$有关于时间变化率的极限：
$$ \cfrac{\text{d} \boldsymbol{r}}{\text{d} t} = \cfrac{\text{d} \boldsymbol{r_0}}{\text{d} t} + \cfrac{\text{d} \boldsymbol{r'}}{\text{d} t} $$即：
$$ \begin{equation}\label{f1} \boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v'} \end{equation} $$上式就是经典力学中的速度合成公式，其中\(\boldsymbol{v}\)为绝对速度，\(\boldsymbol{v'}\)为相对速度， \(\boldsymbol{u}\)是动坐标系中参考点在静止坐标系下的速度，称为牵连速度。 也就是说，动点的绝对速度等于牵连速度与其相对速度的矢量和。
在讨论参考点位移的时候，我们就已经注意到当两个坐标系之间存在相对转动的时候，不同的参考点其位移是不一样的， 进而导致牵连速度也不相同。很多时候，我们会选取一个特殊的参考点，该点在\(t\)时刻与动点重合，称之为瞬时重合点。 在该点的参考作用下，刚刚的矢量图可以简化为右图。在\(t\)时刻，瞬时重合点在静坐标系下的投影为\(A\)点。经过\(\Delta t\)的时间之后， 原来的瞬时重合点运动到了\(A'\)的位置上，同时动点运动到了\(B\)的位置上。显然矢量\(\vec{AB}\)就是动点的绝对位移\(\Delta \boldsymbol{r}\)， \(\vec{A'B}\)则是它的相对位移\(\Delta \boldsymbol{r'}\)，而\(\vec{AA'}\)是牵连位移\(\Delta \boldsymbol{r_0}\)。根据该矢量三角形， 我们可以更方便的导出式(\(\ref{f1}\))。
虽然以瞬时重合点作为参考点来推导速度合成公式很简单，而且牵连速度的定义也很清晰。但是在机器人系统中，我们通常都是以动坐标系的原点作为参考点来考察动点的。 如左图所示，\(O^S\)是静坐标系(S系)的原点，\(O_t^D\)和\(O_{t+\Delta t}^D\)分别是\(t\)时刻和\(t + \Delta t\)时刻动坐标系(D系)原点在S系下的投影。 假设D系相对与S系除了以\(\boldsymbol{v}\)的速度平移，还以\(\boldsymbol{\omega}\)的角速度转动。现在有一动点\(M\)经过\(\Delta t\)的时间运动到了点\(M'\)处。
图中点\(N\)是\(t\)时刻瞬时重合点在S系下的投影，根据刚才的推演过程，我们很容易写出动点的绝对位移\(\Delta \boldsymbol{r^S}\)与相对位移\(\Delta \boldsymbol{r^D}\)之间的关系：
$$ \Delta \boldsymbol{r^S} = \Delta \boldsymbol{r_0} + \Delta \boldsymbol{r^D} $$根据左图中的矢量关系，可以得到牵连位移的矢量表达式：
$$ \Delta \boldsymbol{r_0} = (\boldsymbol{r_{t + \Delta t}^O} + \vec{O_{t + \Delta t}^D N}) - (\boldsymbol{r_t^O} + \boldsymbol{r_t^D}) $$做矢量\(\vec{O_{t + \Delta t}^D N'} = \boldsymbol{r_t^D}\)，则上式可以改写为:
$$ \begin{array}{rcl} \Delta \boldsymbol{r_0} & = & (\boldsymbol{r_{t + \Delta t}^O} - \boldsymbol{r_t^O}) + (\vec{O_{t + \Delta t}^D N} - \vec{O_{t + \Delta t}^D N'}) \\ & = & \Delta \boldsymbol{r^O} + \Delta \boldsymbol{r^N} \end{array} $$对上式关于时间变化率求极限，可以求得牵连速度：
$$ \begin{equation}\label{f2} \cfrac{\text{d}\boldsymbol{r_0}}{\text{d} t} = \cfrac{\text{d}\boldsymbol{r^O}}{\text{d} t} + \cfrac{\text{d}\boldsymbol{r^N}}{\text{d} t} \Rightarrow \boldsymbol{u} = \boldsymbol{v} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D} \end{equation} $$上式中\(\boldsymbol{r^D}\)为动点\(M\)在D系下的位矢。所以，动点的绝对速度\(\boldsymbol{v^S}\)与相对速度\(\boldsymbol{v^D}\)有如下关系：
$$ \begin{equation}\label{f3} \boldsymbol{v^S} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v^D} = \boldsymbol{v} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D} + \boldsymbol{v^D} \end{equation} $$其中，\(\boldsymbol{v}\)和\(\boldsymbol{\omega}\)分别为D系相对于S系的线速度和角速度。此外，根据速度的定义，还有如下的关系：
$$ \begin{equation}\label{f4} \begin{array}{rcl} \boldsymbol{\dot{r^S}} & = & \boldsymbol{\dot{r^O}} + \boldsymbol{\dot{r^D}} \\ \boldsymbol{\dot{r^O}} & = & \boldsymbol{v} \end{array} \end{equation} $$结合式(\(\ref{f3},\ref{f4}\))，有：
$$ \begin{equation}\label{f5} \boldsymbol{\dot{r^D}} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D} + \boldsymbol{v^D} \end{equation} $$式中第一项\(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D}\)描述了矢量\(r^D\)的方向变化，\(\boldsymbol{v^D}\)描述的式动点线速度。
2. 牵连加速度
根据加速度的定义，我们对式(\(\ref{f3}\))左右连边关于时间变化率求极限，有：
$$ \begin{equation}\label{f6} \cfrac{\text{d}\boldsymbol{v^S}}{\text{d}t} = \cfrac{\text{d}\boldsymbol{v}}{\text{d}t} + \cfrac{\text{d}(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D})}{\text{d}t} + \cfrac{\text{d}\boldsymbol{v^D}}{\text{d}t} \end{equation} $$上式的第一项很简单，它描述的实际上就是D系相对S系的加速度\(\boldsymbol{a} = \cfrac{\text{d}\boldsymbol{v}}{\text{d}t}\)。当D系相对于S系有转动时， 第二项和第三项相对复杂一点。
上式第二项可以写作：
$$ \begin{equation}\label{f7} \begin{array}{rcl} \cfrac{\text{d}(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D})}{\text{d}t} & = & \cfrac{\text{d}\boldsymbol{\omega}}{\text{d}t} \times \boldsymbol{r^D} + \boldsymbol{\omega} \times \cfrac{\text{d} \boldsymbol{r^D}}{\text{d} t} \\ & = & \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r^D} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D} + \boldsymbol{v^D}) \\ & = & \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r^D} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D}) + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v^D} \end{array}\end{equation} $$其中\(\boldsymbol{\alpha}\)为D系相对于S系的角加速度。第三项实际上也有两个部分：
$$ \begin{equation}\label{f8} \cfrac{\text{d}\boldsymbol{v^D}}{\text{d}t} = \boldsymbol{a^D} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v^D} \end{equation} $$式中，\(\boldsymbol{a^D}\)是动点在D系下的加速度。所以式(\(\ref{f6}\))可以改写为：
$$ \begin{equation}\label{f9} \boldsymbol{a^S} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r^D} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D}) + \boldsymbol{a^D} + 2\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v^D} \\ \dot{\boldsymbol{v^S}} = \dot{\boldsymbol{v}} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{r^D} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D}) + \dot{\boldsymbol{v^D}} + 2\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v^D} \end{equation} $$对式(\(\ref{f2}\))两端求导，可以得到牵连加速度的表达式：
$$ \begin{equation}\label{f10} \dot{\boldsymbol{u}} = \dot{\boldsymbol{v}} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{r^D} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D}) \\ \boldsymbol{a_e} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r^D} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r^D}) \end{equation} $$式(\(\ref{f9}\))中的\(2\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v^D}\)被称为科里奥利加速度，简称科氏加速度，常用\(\boldsymbol{a_c}\)表示。 所以一般情况下，动点的绝对加速度和相对加速度有如下的关系：
$$ \begin{equation}\label{f11} \boldsymbol{a^S} = \boldsymbol{a_e} + \boldsymbol{a^D} + \boldsymbol{a_c} \end{equation} $$即，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和。
3. 总结
通过对牵连速度和牵连加速度的分析，我们有一般形式下的速度合成定理：动点的绝对速度等于牵连速度与其相对速度的矢量和。 加速度合成定理：动点的绝对加速度等于它的牵连加速度、相对加速度和科氏加速度的矢量和。