定点转动与惯性张量

相比于定轴转动而言，定点转动是刚体更一般的运动形式。虽然定点转动的刚体只有一个点老实的待在一个位置上，但是在每一个瞬间，刚体都有一个瞬时的转轴。可以说定轴转动是瞬时转轴不变的定点转动，或者反过来说，定点转动是瞬时转轴变动的定轴转动。

上一节中，我们研究刚体以$\omega$的角速度绕着$z$转动的动量矩，写出了刚体的转动惯量，最后给出了惯性张量。注意到一个现象，就是坐标系的选择不同，得到的转动惯量和 $3 \times 3$ 的惯性张量矩阵都是不一样的。按照牛顿的说法，惯性是物体的固有属性，它应该与我们分析时选择的坐标系无关。但是为了定量表述又必须选择一个坐标系，从而得到了不一样的惯性张量。这好像是一个悖论。

我们选择通过惯性张量来描述刚体的惯性，就是要解决上述的那个矛盾。研究刚体姿态的变化，建立各个姿态下惯性张量的坐标变换关系。这样我们只要选择一种姿态，并给出对应坐标系下的刚体惯性张量，就可以对任意姿态下的刚体的惯性进行定量表述。

1. 惯性张量

对于一个绕原点进行定点转动的刚体。假设在某一瞬时，其转动的角速度矢量为 $\boldsymbol{\omega} = \begin{bmatrix} \omega_x & \omega_y & \omega_z \end{bmatrix}^T$，刚体上第 $i$ 个点的质量为 $m_i$，位置矢量为 $\boldsymbol{r}_i = \begin{bmatrix} x_i & y_i & z_i \end{bmatrix}^T$，根据质点的转动关系，可以写出该点的速度矢量为 $\boldsymbol{v}_i = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_i$。根据动量矩的定义，我们可以写出刚体的动量矩:

$$ \begin{equation}\label{f1} \boldsymbol{L} = \sum m_i \boldsymbol{r}_i \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_i) \end{equation} $$

将其写成矩阵的形式展开，就得到了上一节最后给出的通过惯性张量 $\boldsymbol{I}$ 和角速度矢量 $\boldsymbol{\omega}$ 表示的动量矩 $\boldsymbol{L} = \boldsymbol{I}\boldsymbol{\omega}$:

$$ \begin{equation}\label{equa_L_I} \begin{bmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum m_i \left(y_i^2 + z_i^2\right) & -\sum m_i x_i y_i & -\sum m_i x_i z_i \\ -\sum m_i y_i x_i & \sum m_i \left(x_i^2 + z_i^2\right) & -\sum m_i y_i z_i \\ -\sum m_i z_i x_i & -\sum m_i z_i y_i & \sum m_i \left(x_i^2 + y_i^2\right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix} \end{equation} $$

惯性张量 $\boldsymbol{I}$ 是一个 $3 \times 3$ 的对称矩阵，可以用如下的记号简化。其中 $J_x, J_y, J_z$ 分别是刚体绕 $x,y,z$ 轴转动的转动惯量。 $J_{xy}, J_{yz}, J_{zx}$ 被称为刚体的惯性积。

$$ \begin{equation}\label{equa_I_J} \boldsymbol{I} = \begin{bmatrix} J_x & -J_{xy} & -J_{zx} \\ -J_{xy} & J_y & -J_{yz} \\ -J_{zx} & -J_{yz} & J_z \end{bmatrix}, \begin{cases} J_x = \sum m_i \left(y_i^2 + z_i^2\right) \\ J_y = \sum m_i \left(x_i^2 + z_i^2\right) \\ J_z = \sum m_i \left(x_i^2 + y_i^2\right) \\ \end{cases}, \begin{cases} J_{xy} = \sum m_i x_i y_i \\ J_{yz} = \sum m_i y_i z_i \\ J_{zx} = \sum m_i z_i x_i \\ \end{cases} \end{equation} $$

根据质点动能的定义，我们可以写出刚体定点转动的动能:

$$ \begin{equation}\label{f3} E = \frac{1}{2} \sum m_i (\boldsymbol{v}_i \cdot \boldsymbol{v}_i) = \frac{1}{2} \sum m_i \boldsymbol{v}_i \cdot (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_i) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \sum m_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{v}_i = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{L} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{I}\boldsymbol{\omega} \end{equation} $$

2. 惯量主轴

由式($\ref{equa_L_I},\ref{equa_I_J}$)可见，刚体关于$x,y,z$各轴的动量矩可以由绕该轴转动的转动惯量和两个惯性积表示。如果对于某个轴的两个惯性积都为零，那么该轴就被称为惯量主轴。有人证明过，对于刚体上的任意一点$O$至少有三根互相垂直的惯量主轴。如果我们以惯量主轴建立正交直角坐标系，那么惯性张量$\boldsymbol{I}$就是一个对角阵，有惯性积 $\boldsymbol{J}_{xy} = \boldsymbol{J}_{yz} = \boldsymbol{J}_{zx} = 0$。

$$ \begin{equation}\label{equa_2.1} \begin{cases} I_x = J_x \omega_x - J_{xy}\omega_y - J_{zx}\omega_z \\ I_y = J_y \omega_y - J_{xy}\omega_x - J_{yz}\omega_z \\ I_z = J_z \omega_z - J_{zx}\omega_x - J_{yz}\omega_y \\ \end{cases} \end{equation} $$

数学形式上 $\boldsymbol{I}$ 是一个正定的对称矩阵，我们可以通过对其进行特征值分解，$\boldsymbol{I}\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$，求得惯量主轴。分解之后得到三个特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 就是绕惯量主轴的转动惯量，它们对应的特征向量 $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3$ 就是惯量主轴。

根据特征向量，我们可以直接写出以惯量主轴建立的坐标系与原坐标系之间的旋转矩阵$R = \begin{bmatrix} \boldsymbol{x}_1 & \boldsymbol{x}_2 & \boldsymbol{x}_3 \end{bmatrix}$，有坐标变换关系:

$$ \begin{equation}\label{equa_2.2} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix} = \boldsymbol{R}^T \begin{bmatrix} J_x & -J_{xy} & -J_{zx} \\ -J_{xy} & J_y & -J_{yz} \\ -J_{zx} & -J_{yz} & J_z \end{bmatrix} \boldsymbol{R} \end{equation} $$

上式也蕴含着一惯性张量的坐标变换关系。假设 $\boldsymbol{I}_b$ 是在刚体的随体坐标系下求得的惯性张量，$\boldsymbol{I}_0$ 是刚体在参考坐标系下的惯性张量，随体坐标系到参考坐标系的旋转矩阵为 $R_{b}^0$，有变换关系:

$$ \begin{equation}\label{equa_2.3} \boldsymbol{I}_0 = {R_{b}^0} \boldsymbol{I}_b {\boldsymbol{R}_b^0}^T \end{equation} $$ $$ \begin{equation}\label{equa_2.4} \boldsymbol{I}_b = {R_{b}^0}^T \boldsymbol{I}_0 \boldsymbol{R}_b^0 \end{equation} $$

如果一个惯量主轴穿过了质心，那么该主轴被称为中心惯量主轴。如果一个刚体存在质量对称轴，那么该轴就是刚体上任意一点的惯量主轴之一，并且是中心惯量主轴。如果刚体存在一个质量对称的平面，那么与该平面垂直的任意一轴，都是该轴与平面交点的惯量主轴。

3. 平行轴定理

假设我们在一个质量为 $m$ 的刚体的质心上计算得到了惯性张量 $\boldsymbol{I}_b$。现在有另外一个坐标系 $O_k$ 相对于 $O_b$ 平移了 $\boldsymbol{r}$ 矢量。那么刚体在 $O_k$ 下的惯性张量可以写为: $$ \begin{equation}\label{equa_3.1} \boldsymbol{I}_k = \boldsymbol{I}_b + m (\boldsymbol{r}^T\boldsymbol{r} \boldsymbol{E}_{3\times 3} - \boldsymbol{r}\boldsymbol{r}^T) \end{equation} $$ 其中 $\boldsymbol{E}_{3\times 3}$ 是一个 $3 \times 3$的单位矩阵。上式实际上是平行轴定理在惯性张量下的推广。

4. 完

本文中我们从动量矩的定义出发，引出了刚体的惯性张量，并给出了定点转动的动量矩和动能的计算方法。数学形式上，对惯性张量进行特征值分解，可以得到一个惯性积为 0 的对角矩阵。以特征向量为坐标轴得到的惯性张量的惯性积为 0,对应的轴为惯量主轴。工程实际中，我们可以通过分析刚体的质量分布，找出对称轴和对称平面，得到惯性主轴。