定轴转动与转动惯量

定轴转动是刚体的一种十分常见的运动方式，刚体上的每个点都在做圆周运动，而且它们的运动轨迹的圆心都在一条直线上，该直线垂直与各个质点的运动平面。我们称这条圆心所构成的直线为转轴，转轴在运动过程中始终保持不变，故而称之为定轴转动。

显然在定轴转动这种运动方式中，刚体中各个质点的速度和加速度都不一样，此时再用速度和加速度来描述刚体的运动就没有任何意义了。但是由于刚体的角速度矢量具有唯一性，所以一般都用角速度和角加速度来刻画刚体的运动。并且会根据动量矩变化定理来分析刚体的受力，建立微分方程。

本文中，我们主要关注刚体的转动惯量，通过分析动量矩的计算方式引出转动惯量的定义和计算方法。然后介绍平行轴定理，可以在一定程度上简化转动惯量的计算。最后简单的讨论一下刚体的一般转动和惯量张量。

1. 动量矩和转动惯量

如右图所示，我们不妨在刚体的转轴上选取一点作为参考点，以转轴的方向为$z$轴，建立右手直角坐标系。该坐标系不随刚体的转动而运动，是一个惯性坐标系。

刚体以$\omega$的角速度绕着$z$转动，写成向量的形式就是$\boldsymbol{\omega} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \omega \end{bmatrix}^T$。那么刚体上位置矢量为$\boldsymbol{r} = \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}^T$的质点的速度矢量$\boldsymbol{v}$可以通过下式计算：

$$ \boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} $$

若$\boldsymbol{r}$处质点的质量为$\mathrm{d}m$，那么该质点的动量矩可以计算如下：

$$ \begin{array}{ccl} \mathrm{d}\boldsymbol{L} & = & \boldsymbol{r} \times \mathrm{d}m \boldsymbol{v}=\boldsymbol{r}\times\mathrm{d}m (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) \\ \begin{bmatrix} \mathrm{d} L_x \\ \mathrm{d} L_y \\ \mathrm{d} L_z \end{bmatrix} & = & \mathrm{d}m \begin{bmatrix} -xz \\ -yz \\ x^2 + y^2 \end{bmatrix} \omega \end{array} $$

现在我们只关心其在转轴($z$轴)上的分量$\mathrm{d}L_z$。记$R_i^2 = x_i^2 + y_i^2$为第$i$个质点到转轴的距离，那么转动惯量可以定义为：

$$ I = \sum R_i^2 m_i $$

其中，$m_i$是第$i$个质点的质量。对于质量连续的刚体，可以写成积分的形式：

$$ I = \iiint R^2 \mathrm{d}m = \iiint R^2 \rho \mathrm{d}v $$

式中，$\rho$是刚体的体积单元$\mathrm{d}v$的密度。显然，转轴的位置不同，刚体的质量分布不同根据上式计算出的转动惯量也不一样。

如果我们对刚体的所有质点的动量矩进行积分，就可以得到刚体的动量矩。它在转轴($z$轴)上的分量可以写成转动惯量$I$与角速度$\omega$的乘积：

$$ L_z = I \omega $$

如果刚体所受外力相对于参考点之矩在转轴($z$轴)上的分量可以记为$M_z$，那么我们可以写出刚体定轴转动的微分方程：

$$ \cfrac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t} = I \cfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t} = M_z $$

2. 平行轴定理与薄板正交轴定理

根据转动惯量的定义式，我们已经看到转轴的不同，刚体的转动惯量也不一样。这给我们的计算带来了一些小麻烦。实际上如果有一个通过刚体质心的轴与转轴平行，我们称该轴为质心轴，那么刚体的转动惯量可以写成两个部分：

$$ I = I_c + md^2 $$

其中，$I_c$为刚体相对于质心轴的转动惯量，$m$为刚体的质量，$d$是质心轴与转轴之间的距离。这就是所谓的平行轴定理。

如果刚体的质量分布在一个平面上，不妨设为$xy$平面，那么刚体绕$x$轴、$y$轴、$z$轴的转动惯量$I_x, I_y, I_z$之间存在关系：

$$ I_z = I_x + I_y $$

这被称为刚体的薄板正交轴定理。

根据这两个定理，可以在一定程度上简化刚体转动惯量的计算。

3. 惯量张量

对于一般的情况而言，刚体的角速度矢量$\boldsymbol{\omega}$与其动量矩$\boldsymbol{L}$的方向并不是平行的，它们之间可以通过左乘一个矩阵求得：

$$ \begin{bmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum m_i \left(y_i^2 + z_i^2\right) & -\sum m_i x_i y_i & -\sum m_i x_i z_i \\ -\sum m_i y_i x_i & \sum m_i \left(x_i^2 + z_i^2\right) & -\sum m_i y_i z_i \\ -\sum m_i z_i x_i & -\sum m_i z_i y_i & \sum m_i \left(x_i^2 + y_i^2\right) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix} $$

我们用符号$\boldsymbol{I}$标记这个矩阵，将之称为惯量张量。它的对角线上的元素分别是绕$x,y,z$三轴的转动惯量，其余的元素被称为惯量积。上式可以简记为：

$$ \boldsymbol{L} = \boldsymbol{I} \boldsymbol{\omega} $$

4. 完

虽然本文把刚体的运动限定在了定轴转动这一形式上，但是所介绍的转动惯量以及最后提及的惯量张量，是描述刚体惯性的一个通用指标。我们在分析刚体的一般运动的时候，通常都会以质点为参考将其运动拆分为质点的平动与刚体的转动。在描述质点平动特性的时候，我们可以采用质量、速度、加速度来刻画质点的平动状态。在描述刚体的转动时，则选用转动惯量或者说惯量张量、角速度、角加速度来刻画。