质点的动量、动能与动量矩

一般我们提到牛顿第二定律都是在说$F = ma$这一表达式，也就是说力在质点上的瞬时作用体现在质点的加速度上。而任何运动都要经过一段时间和空间。力的作用在时间上的累积则表现为质点动量的改变，在空间上的累积则表现为质点动能的改变。

本文，我们定义质点的动量与动能，来研究力在时空中的累积作用。此外，还将讨论力矩与动量矩的关系。

1. 力的冲量与质点的动量

根据式$F = ma$，在一段微小的时间里，力的作用可以写成下式。其中$\boldsymbol{F}\mathrm{d}t$被称为力的冲量， $m\boldsymbol{v}$为质点的动量。

$$ \begin{equation}\label{f1} \boldsymbol{F} \mathrm{d}t = m\cfrac{\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t = \mathrm{d} \left(m\boldsymbol{v}\right) \end{equation} $$

如果从$t_1$时刻到$t_2$时刻，质点的速度从$\boldsymbol{v_1}$变化到了$\boldsymbol{v_2}$，那么对式($\ref{f1}$)两端积分有:

$$ \begin{equation}\label{f2} m\boldsymbol{v_2} - m\boldsymbol{v_1} = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{F}(t) \mathrm{d} t \end{equation} $$

上式左端的$m\boldsymbol{v_2} - m\boldsymbol{v_1}$描述的是质点动量的改变量，它只与从$t_1$时刻到$t_2$时刻的作用力有关系。这一积分形式说明，质点动量的改变量就是力在时间上的累积作用。 在上式中，我们特意将力$\boldsymbol{F}(t)$写成关于时间的函数。如果是一个恒力，则有$m\left(\boldsymbol{v_2} - \boldsymbol{v_1}\right) = \boldsymbol{F}(t_2 - t_1)$。

当质点所受合力为$\boldsymbol{0}$的情况下，质点的动量是不会发生变化的。在后面讨论质点系的动量时，我们会有动量守恒定理：当质点系所受合外力为$\boldsymbol{0}$的情况下，质点系的动量保持不变。

2. 力做功与质点的动能

根据式$F = ma$，在一段微小的位移里，力的作用可以写成下式。其中$\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}$被称为力所做的功， $m\boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{v} = \cfrac{1}{2} m v^2$为质点的动能。

$$ \begin{equation}\label{f3} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = m\cfrac{\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} \cdot \boldsymbol{v}\mathrm{d}t = m \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{v} \end{equation} $$

上式中$m \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{v} = \mathrm{d}\left(m\cfrac{1}{2}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} \right) = \mathrm{d}\left(\cfrac{1}{2} mv^2\right)$，所以上式也可以写作:

$$ \begin{equation}\label{f4} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = \mathrm{d}\left(\cfrac{1}{2} mv^2\right) \end{equation} $$

如果质点$m$在力$\boldsymbol{F}$的作用下，沿曲线$l$从$a$点移动到了$b$点，那么对式($\ref{f4}$)沿曲线$l$积分有：

$$ \begin{equation}\label{f5} \cfrac{1}{2} m v_b^2 - \cfrac{1}{2} m v_a^2 = \underset{(l)}{\int_{a}^{b}} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} \end{equation} $$

上式表明，质点动能的该变量就是力在空间上累积做功的结果。需要注意的是力$\boldsymbol{F}$与位移$\mathrm{d}\boldsymbol{r}$都是矢量，它们的点积才是力所做的功。当两个矢量正交时，它们的点积为0，力$\boldsymbol{F}$就不做功。当点积为正时，力做正功，质点的动能增加。点积为负时，力做负功，质点的动能减小。但是质点的动能是关于其速度的二次型，所以不可能为负值。

有一类力所做的功与路径无关，只与做功的起点和终点位置有关系。比如重力做功只与起点和终点的高度差有关系、弹簧的弹力只与起点和终点产生的形变有关、万有引力只与起点和终点到引力中心的距离有关。这类力有一个共同的特点，沿着环路做功为零。它们被称为保守力，其作用范围被称为保守力场。一般用符号$\boldsymbol{F_c}$来表示，形式化表示为：

$$ \begin{equation}\label{f6} \oint \boldsymbol{F_c} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r} = 0 \end{equation} $$

这类保守力有时也被称为有势力，主要是为了引出势能的概念。在保守力场中选定一个参考点，那么从该参考点出发到力场中任意一点保守力所做的功都是确定的。那么质点处在力场中就好像有了某种能量，称之为势能，不妨用符号$E_p$来表示。并且$a,b$两点间的势能差是固定的。

我们把势能和动能统称为质点的机械能，我们有机械能守恒定理：当只有保守力做功的情况下，物体的机械能保持不变。

3. 力矩与质点的动量矩

质点的动量矩被定义成一个位置矢量$\boldsymbol{r}$与质点动量$m\boldsymbol{v}$的叉积，记作$\boldsymbol{L}$：

$$ \begin{equation}\label{f7} \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times m\boldsymbol{v} \end{equation} $$

这里的位置矢量$\boldsymbol{r}$是有参考点的，参考点选取的不一样，得到的动量矩也不相同。比如右图所示，一质点$m$以速度$\boldsymbol{v}$做着匀速直线运动, 我们分别从点$O_1$和$O_2$计算质点$m$的角动量，它们的方向相同都是垂直屏幕向里，但是大小分别是$\|\boldsymbol{L_1}\| = \|\boldsymbol{r_1}\|mv\sin \theta_1, \|\boldsymbol{L_2}\| = \|\boldsymbol{r_2}\|mv\sin \theta_2$，显然不相等。

类似的，力矩被定义为位置矢量$\boldsymbol{r}$与力$\boldsymbol{F}$的叉积，记作$\boldsymbol{M}$。同样的，相同的力$\boldsymbol{F}$对于不同的参考点得到的力矩也不相同。

$$ \begin{equation}\label{f8} \boldsymbol{M} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \end{equation} $$

现在我们对式($\ref{f7}$)两端关于时间求导有：

$$ \begin{equation}\label{f9} \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t} \times m\boldsymbol{v} + \boldsymbol{r} \times \cfrac{\mathrm{d}\left(m\boldsymbol{v}\right)}{\mathrm{d} t} \end{equation} $$

上式中第一项实际为$\boldsymbol{v} \times m\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$。第二项中的$\cfrac{\mathrm{d}\left(m\boldsymbol{v}\right)}{\mathrm{d} t} = \boldsymbol{F}$。所以有：

$$ \begin{equation}\label{f10} \mathrm{d}\boldsymbol{L} = \boldsymbol{M}\mathrm{d}t \end{equation} $$

上式被称为动量矩的变化定理，称$\boldsymbol{M}\mathrm{d}t$为冲量矩。假设质点从$t_1$时刻到$t_2$时刻在力矩$M$的作用下动量矩从$\boldsymbol{L_1}$变化到了$\boldsymbol{L_2}$，那么有积分形式的动量矩变化定理如下式所示，其物理内涵是质点动量矩的改变量是力矩在时间上的累积作用。

$$ \begin{equation}\label{f11} \boldsymbol{L_2} - \boldsymbol{L_1} = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{M}\mathrm{d}t \end{equation} $$

在后面讨论质点系的动量矩时，我们会有动量矩守恒定理：质点系上外力作用在惯性空间中一固定点之矩的矢量和为零时，质点系的动量矩保持不变。 简单点说就是，质点系上的和力矩为零时，动量矩将保持不变。

4. 完

本文我们讨论了质点的动量、动能以及角动量。总体上说就是：

质点动量的改变量就是力在时间上的累积作用。
质点动能的该变量就是力在空间上累积做功的结果。
质点动量矩的改变量是力矩在时间上的累积作用。