质点的转动

准确点说质点是不存在转动的概念的。因为对于这种理想的模型，在空间中只有三个自由度，用来描述其空间位置。因为质点各向同性，从任何方向上观察它都是一样的，所以也就没有姿态的概念。 在刚体的运动模型中，转动是一个很重要的概念。所谓的刚体可以看做是由三个以上相对位置不会发生变化的质点所构成的。在这里我们滥用了转动这一概念， 主要是为了讨论角速度。

我们先来考虑一种特殊的情况，质点绕着一点做圆周运动。如右图所示有一质点\(A\)绕着点\(O'\)做圆周运动，从\(O'\)观察质点\(A\)的运动，会发现其位置矢量\(\vec{O'A}\)的大小不变， 方向在不断的改变。假设经过\(\Delta t\)时间，质点\(A\)运动到了图中\(A'\)处。根据圆切线的几何关系，我们可以很容易得出位置矢量方向改变了\(\theta\)角， 与\(\vec{O'A}\)和\(\vec{O'A'}\)之间的夹角相等。那么有质点的角速度定义式:

$$ \omega = \underset{\Delta t \to 0}{\lim} \cfrac{\Delta \theta}{\Delta t} = \cfrac{d \theta}{d t} $$

对上式稍作变形，我们有:

$$ \omega = \cfrac{d \theta}{d s} \cfrac{d s}{d t} $$

式中第一项正式我们在上一节中提到的曲率\(k\)，第二项则是质点的线速度\(v\)。 所以质点角速度与线速度之间存在关系:

$$ v = R \omega $$

其中\(R = \cfrac{1}{k}\)为位置矢量\(\vec{O'A}\)的模长。实际上过点\(O'\)做一条直线\(OO'\)垂直于质点\(A\)的转动平面，在直线\(OO'\)上的任一点观察质点\(A\)都是在做圆周运动， 其位置矢量的大小不变，方向在不断的变化。直线\(OO'\)实际上就是质点\(A\)的转轴，根据右手定则定义角速度矢量\(\boldsymbol{\omega}\)， 右手四指沿着线速度方向\(\boldsymbol{v}\)抓握转轴\(OO'\)，大拇指所指的就是\(\boldsymbol{\omega}\)的方向。那么线速度、位置和角速度矢量之间存在叉乘关系：

$$ \boldsymbol{v} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} $$

其中位置矢量\(\boldsymbol{r}\)是从转轴上一点到质点\(A\)的矢量。

对于更一般的情况，质点在空间中做着曲线运动。在上一节中， 我们已经分析出质点的速度可以分解为横向速度和径向速度，其中横向速度描述的正是位置矢量的方向变化。这点与本文中所说的角速度是一致的， 只是角速度的描述中还隐藏了转轴的概念。此时的转轴就不是一个固定的轴，它将随着质点的移动而不断变化，而质点的运动轨迹也可以看做是由一个个圆弧状的微元构成。 如果有读者了解过局部路径规划或者说是轨迹跟踪的DWA算法的话对这一点就会有比较深刻的体会。

完