质点系的动量、动能与动量矩
在上一节中，我们研究了质点的动量、动能与动量矩。 通常我们所研究的问题模型都会涉及到多个质点，把它们看做一个系统，就是所谓的质点系。从系统的角度来看，质点系的动力学主要是在分析系统受到外力作用下， 各个质点的运动状态。具体到质点系中的每个质点，其作用力分为系统的内力和外力两种。所谓的内力，就是质点系中其他质点对考察质点的作用力。 通过分析质点系内部相互作用的一些特点之后，我们就可以得到质点系的动量守恒、机械能守恒、动量矩守恒的条件。从而建立起系统模型，解决问题。
本文，我们分析质点系的内部特征，梳理质点系的动量、动能和动量矩的变化定理，以及它们的守恒条件。
1. 动量变化定理与守恒条件
假设质点系中有\(n\)个质点，其中第\(i\)个质点的质量为\(m_i\)，速度为\(\boldsymbol{v_i}\)。那么质点系的动量\(\boldsymbol{p}\)定义为各个质点动量的矢量和:
$$ \begin{equation}\label{f1} \boldsymbol{p} = \sum_{i = 1}^n m_i \boldsymbol{v_i} \end{equation} $$我们把作用在第\(i\)个质点上的力归结为两个合力。质点系之外的物体作用在该质点上的力的合力，\(\boldsymbol{F_{i,ext}}\)，称为合外力。 质点系内的其他质点作用在该质点上的力的合力，\(\boldsymbol{F_{i, int}}\)，称为合内力。 根据质点动量变化定理的微分形式，可以写出下式的质点系动量变化定理：
$$ \begin{equation}\label{f2} \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\sum_{i = 1}^n m_i \boldsymbol{v_i}\right) = \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{F_{i, ext}} + \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{F_{i, int}} \end{equation} $$由于作用力与反作用力的存在，质点系内部的作用力总是成对出现，并且大小相等方向相反。所以上式右边的第二项为零。 而\(\underset{i = 1}{\overset{n}{\Sigma}} \boldsymbol{F_{i, ext}}\)正是质点系所受的合外力\(\boldsymbol{F_{ext}}\)。所以上式可以改写成：
$$ \begin{equation}\label{f3} \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\sum_{i = 1}^n m_i \boldsymbol{v_i}\right) = \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d} t} = \boldsymbol{F_{ext}} \end{equation} $$如果在\(t_1, t_2\)时刻，质点系的动量分别为\(\boldsymbol{p_{t_1}}, \boldsymbol{p_{t_2}}\)，那么有积分形式的动量变化定理：
$$ \begin{equation}\label{f4} \boldsymbol{p_{t_2}} - \boldsymbol{p_{t_1}} = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{F_{ext}} \mathrm{d} t \end{equation} $$显然，当上述合外力\(\boldsymbol{F_{ext}} = 0\)时，有\(\boldsymbol{p_{t_2}} = \boldsymbol{p_{t_1}}\)，即质点系的动量保持不变。这就是所谓的质点系的动量守恒定理: 当作用于质点系上的合外力为零时，质点系的动量保持不变。在直角坐标系下，如果合外力矢量在某个轴上的投影为零，那么质点系动量在该坐标轴上的投影守恒。
2. 机械能变化定理与守恒条件
假设质点系中有\(n\)个质点，其中第\(i\)个质点的质量为\(m_i\)，速度为\(\boldsymbol{v_i}\)。并且该质点所受的合外力为\(\boldsymbol{F_{i,ext}}\)， 合内力为\(\boldsymbol{F_{i, int}}\)。根据牛顿第二定律有：
$$ \begin{equation}\label{f5} m_i \cfrac{\mathrm{d} \boldsymbol{v_i}}{\mathrm{d} t} = \boldsymbol{F_{i,ext}} + \boldsymbol{F_{i,int}} \end{equation} $$对上式两侧点积位移量\(\mathrm{d}\boldsymbol{r_i}\)，有：
$$ \begin{equation}\label{f6} \mathrm{d} \left(\cfrac{1}{2} m_i v_i^2 \right) = \boldsymbol{F_{i,ext}} · \mathrm{d}\boldsymbol{r_i} + \boldsymbol{F_{i,int}} · \mathrm{d}\boldsymbol{r_i} \end{equation} $$对质点系中\(n\)个质点求和，有：
$$ \begin{equation}\label{f7} \mathrm{d} \left(\sum_{i = 1}^n \cfrac{1}{2} m_i v_i^2 \right) = \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{F_{i,ext}} · \mathrm{d}\boldsymbol{r_i} + \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{F_{i,int}} · \mathrm{d}\boldsymbol{r_i} \end{equation} $$其中，\(\underset{i = 1}{\overset{n}{\Sigma}} \cfrac{1}{2} m_i v_i^2\)为质点系的总动能，用符号\(T\)来表示。上式就是微分形式的动能变化定理。需要强调的是， 这里虽然把质点\(m_i\)的受力也分为合外力与合内力两个，但是我们不能像质点系动量定理那样认为内力的做功为零。考虑两个质点\(m_1, m_2\)，其瞬时速度矢量为\(\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}\)，相互之间存在作用力\(\boldsymbol{f_1}, \boldsymbol{f_2}\)并且\(\boldsymbol{f_1} = -\boldsymbol{f_2}\)。那么这两个力瞬时做功为:
$$ \left(\boldsymbol{f_1} · \boldsymbol{v_1} + \boldsymbol{f_2} · \boldsymbol{v_2} \right) \mathrm{d}t = \boldsymbol{f_1} · \left(\boldsymbol{v_1} - \boldsymbol{v_2}\right)\mathrm{d}t = \boldsymbol{f_1} · \boldsymbol{v_{1,2}} \mathrm{d} t $$其中，\(\boldsymbol{v_{1,2}}\)是两个质点之间的相对速度。只有当相对速度与相互作用力垂直时，相互作用力做功才为零。
如果质点系上做功的力都是保守力，或者说是有势力。那么用\(V_1, V_2\)分别表示做功前后的势能，\(T_1, T_2\)为质点系的动能，那么有机械能守恒关系：
$$ \begin{equation}\label{f8} T_1 + V_1 = T_2 + V_2 \end{equation} $$3. 动量矩变化定理与守恒条件
假设质点系中有\(n\)个质点，其中第\(i\)个质点的质量为\(m_i\)，速度为\(\boldsymbol{v_i}\)。那么对于惯性坐标系中一点\(O\)， 质点系的动量矩\(\boldsymbol{L_O}\)定义为各个质点相对于点\(O\)的动量矩的矢量和:
$$ \begin{equation}\label{f9} \boldsymbol{L_O} = \sum_{i = 1}^n \left(\boldsymbol{r_i} \times m_i\boldsymbol{v_i}\right) \end{equation} $$考虑质点系中具有相互作用力\(\boldsymbol{f_1}, \boldsymbol{f_2}\)的两个质点，它们相对于惯性坐标系中点\(O\)的位置矢量分别为\(\boldsymbol{r_1}, \boldsymbol{r_2}\)。 那么这一对内力所产生的冲量矩为：
$$ \begin{equation}\label{f10} \boldsymbol{M_1}\mathrm{d}t + \boldsymbol{M_2}\mathrm{d}t = \left(\boldsymbol{r_1} \times \boldsymbol{f_1} + \boldsymbol{r_2} \times \boldsymbol{f_2}\right)\mathrm{d}t = \boldsymbol{r_{1,2}} \times \boldsymbol{f_1} \mathrm{d}t \end{equation} $$上式中\(\boldsymbol{r_{1,2}} = \boldsymbol{r_1} - \boldsymbol{r_2}\)是两个质点之间的相对位矢。由于两质点之间的相互作用力总是与两者连线方向平行， 所以有\(\boldsymbol{r_{1,2}} \parallel \boldsymbol{f_1}\)。因此上式的冲量矩矢量和为零。假设第\(i\)个质点所受外力产生的合力矩为\(\boldsymbol{M_{i, ext}}\)， 内力产生的合力矩为\(\boldsymbol{M_{i, int}}\)，有：
$$ \begin{equation}\label{f11} \mathrm{d}\boldsymbol{L_O} = \left(\sum_{i = 1}^n \boldsymbol{M_{i, ext}} + \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{M_{i, int}}\right) \mathrm{d}t \end{equation} $$由于我们已经证明一对内力所产生的冲量矩为零。所以上式第二项为零，那么有微分形式的质点系动量矩变化定理:
$$ \begin{equation}\label{f12} \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{L_O}}{\mathrm{d}t} = \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{M_{i, ext}} \end{equation} $$假设质点系从\(t_1\)时刻到\(t_2\)时刻在外力矩\(M\)的作用下动量矩从\(\boldsymbol{L_1}\)变化到了\(\boldsymbol{L_2}\)，那么有积分形式的动量矩变化定理如下式所示:
$$ \begin{equation}\label{f13} \boldsymbol{L_2} - \boldsymbol{L_1} = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{M}\mathrm{d}t \end{equation} $$当质点系所受外力矩为零时，质点系的总动量矩是恒定不变的，这就是所谓的质点系动量矩守恒定理。
4. 完
我们把质点系中各个质点的受力分为内力和外力。由于作用力与反作用力的存在，使得内力产生的动量和动量矩的矢量和为零，所以有动量守恒条件(质点系所受合外力为零)， 动量矩守恒条件(质点系所受合外力矩为零)。由于内力做功有可能不为零，所以研究质点系动能变化定理的时候，我们不能直接将内力做功约去。如果质点系中做功的力都是有势力， 那么质点系的机械能守恒。