质点运动学

质点是一种理想的物理模型，它是运动空间中的一个有质量的点，而且从任何方向去观察它都是一样的，也就是所谓的各向同性。质点运动学研究的是质点在空间的运动，不考虑产生运动的原因。所谓的运动是指质点的空间位置随时间的变化情况，我们会讨论它的位置、速度、加速度。

既然要研究运动，就少不了参照物。通常为了方便，我们会选定参照物上的一个点，或者与参照物之间存在某种关系的空间中一个点，作为参考点，并以该点为原点建立参考坐标系。本文中，我们将要介绍直角坐标系和自然坐标系两种常用的坐标系形式以及它们的运动表示方法。

1. 质点运动的矢量表示法

选定了空间中的一个参考点$O$，那么质点$M$在空间中的位置可以用一个从$O$点指向$M$点的矢量$\boldsymbol{r}$表示，有时称之为矢径。质点$M$在空间中的运动轨迹，可以用一个关于时间的矢量函数$\boldsymbol{r}(t)$来表示。其运动所遵循的方程称为轨道方程。

如右图所示，假设$t$时刻质点在空间A点处，其位置矢量为$\boldsymbol{r}(t)$。在下一时刻质点运动到了B点，位置矢量变成了$\boldsymbol{r}(t + \Delta t)$。那么对两个位置矢量求差就得到了从A点指向B的矢量$\Delta \boldsymbol{r}$，称之为位移矢量，简称"位矢"。它反映了质点位置的变动，可由运算规则计算： $$ \Delta \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t + \Delta t) - \boldsymbol{r}(t) $$ 需要注意的是，质点实际轨迹是一段从A点到B点的弧线$\Delta s$，它与位移矢量$\Delta \boldsymbol{r}$不一致。只有当$\Delta t \to 0$时，才有$\|\text{d} \boldsymbol{r}\| = \text{d} s$，两者的数值相等。

我们定义质点$M$的位矢$\boldsymbol{r}(t)$关于时间的一阶导数为其速度矢量，即：

$$ \begin{equation}\label{f1} \boldsymbol{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \cfrac{\boldsymbol{r}(t + \Delta t) - \boldsymbol{r}(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \cfrac{\Delta \boldsymbol{r}}{\Delta t} = \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} \end{equation} $$

实际上，质点的位置移动除了有距离上的变化，还有方向的改变。如右图所示，在矢量$\vec{OB}$上找一点$C$使得$\left\|\vec{OA}\right\| = \left\|\vec{OC}\right\|$。那么有矢量三角形$ACB$，其中$\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$。矢量$\vec{AB}$就是从A点到B点的位移$\Delta \boldsymbol{r}$。矢量$\vec{AC}$则反映了质点位矢的方向上的变化，记为$\Delta \boldsymbol{r_\theta}$，称之为横向位移。而矢量$\vec{CB}$则体现了距离远近上的变化，或者说是位矢长度上的变化，记为$\Delta \boldsymbol{r_r}$，称为径向位移。也就是说，位移矢量可以被分解横向位移和径向位移两部分，可以用下式来描述：

$$ \begin{equation}\label{f2} \Delta \boldsymbol{r} = \Delta \boldsymbol{r_\theta} + \Delta \boldsymbol{r_r} \end{equation} $$

相应的，质点的速度矢量也可以分解为横向速度$\boldsymbol{v_\theta}$和径向速度$\boldsymbol{v_r}$两个部分，如右图所示。

$$ \begin{array}{rcl} \boldsymbol{v} & = & \boldsymbol{v_\theta} + \boldsymbol{v_r} \\ \boldsymbol{v_\theta} & = & \cfrac{\text{d}\boldsymbol{r_\theta}}{\text{d}t} \\ \boldsymbol{v_r} & = & \cfrac{\text{d}\boldsymbol{r_r}}{\text{d}t} \end{array} $$

加速度矢量被定义为速度矢量$\boldsymbol{v}(t)$的一阶导数，位置矢量$\boldsymbol{r}(t)$的二阶导数，即:

$$ \begin{equation}\label{f4} \boldsymbol{a}(t) = \frac{\text{d}\boldsymbol{v}(t)}{\text{d}t} = \frac{\text{d}^2 \boldsymbol{r}(t)}{\text{d} t^2} \end{equation} $$

加速度矢量描述的是速度矢量的瞬时变化，它除了含有速度方向的变化外，还描述了速率大小的变化。如右图所示，$\vec{OM}$表示$t$时刻质点的速度矢量$\boldsymbol{v}(t)$， $t + \Delta t$时刻的速度矢量$\boldsymbol{v}(t + \Delta t)$用矢量$\vec{ON}$来表示。我们在$\vec{ON}$上取一点$P$，使得$\left\|\vec{OM}\right\| = \left\|\vec{OP}\right\|$。如此就得到了一个关于速度的矢量三角形$MPN$，其中$\vec{MN} = \vec{MP} + \vec{PN}$。式中$\vec{MN}$就是$\Delta t$时间内的速度变化矢量$\Delta \boldsymbol{v}$。矢量$\vec{MP}$则描述了速度的方向变化，记为$\Delta \boldsymbol{v_n}$。矢量$\vec{PN}$描述的是速度大小的变化，记为$\Delta \boldsymbol{v_\tau}$。当$\Delta t \to 0$时，加速度矢量可以表示如下：

$$ \begin{equation}\label{f5} \begin{array}{rcl} \boldsymbol{a}(t) & = & \boldsymbol{a_n} + \boldsymbol{a_\tau} \\ \boldsymbol{a_n} & = & \underset{\Delta t \to 0}{\lim} \cfrac{\Delta \boldsymbol{v_n}}{\Delta t} = \cfrac{\text{d}\boldsymbol{v_n}}{\text{d}t} \\ \boldsymbol{a_\tau} & = & \underset{\Delta t \to 0}{\lim} \cfrac{\Delta \boldsymbol{v_\tau}}{\Delta t} = \cfrac{\text{d}\boldsymbol{v_\tau}}{\text{d}t} \end{array} \end{equation} $$

其中，$\boldsymbol{a_n}$被称为法向加速度，与速度矢量$\boldsymbol{v_n}$垂直反映了速度方向的时间变化率。 $\boldsymbol{a_\tau}$被称为切向加速度，反映的是速度大小随时间的变化率。

综上，我们可以说速度是位矢的一阶导数，反映的是位置随时间的变化。加速度是速度的一阶导数，位矢的二阶导数，反映的是速度随时间的变化。有时为了书写上方便，我们将这种关系表示为$\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{r}}, \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{r}}$。

2. 直角坐标系下的运动表示

直角坐标系是比较常用的一种坐标表示方法，有时也被称为是笛卡尔坐标系。如右图所示，以参考点为原点选择三个正交的单位矢量$\boldsymbol{i,j,k}$，作为坐标空间的一组基。那么空间中一点$M$的位矢可以表示为$\boldsymbol{r} = x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}$。其中$x,y,z$是质点$M$的空间坐标，通常写成列向量$\begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}^T$的形式。它的运动轨迹可以写成三轴坐标关于时间$t$的参数方程的形式：

$$ \boldsymbol{r}(t) = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{bmatrix} $$

这种坐标表示方式，把坐标系与参考点固连在一起，坐标轴或者说是基向量是静止不动的。所以速度矢量$\boldsymbol{v}$和加速度矢量$\boldsymbol{a}$可以写成如下的形式：

$$ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{r}} = \dot{x}\boldsymbol{i} + \dot{y}\boldsymbol{j} + \dot{z}\boldsymbol{k} = \begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{z} \end{bmatrix}, \boldsymbol{a} = \ddot{\boldsymbol{r}} = \ddot{x}\boldsymbol{i} + \ddot{y}\boldsymbol{j} + \ddot{z}\boldsymbol{k} = \begin{bmatrix} \ddot{x} \\ \ddot{y} \\ \ddot{z} \end{bmatrix} $$

通常我们用$v_x, v_y, v_z$表示速度矢量$\boldsymbol{v}$在三个坐标轴上的投影，$a_x, a_y, a_z$表示加速度矢量$\boldsymbol{a}$在三个坐标轴上的投影。速度的大小和方向完全可以由三个投影来描述：

$$ \begin{array}{} & & v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}, & a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \\ v_x = \dot{x}, & a_x = \ddot{x} = \dot{v_x}, & \cos(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{i}) = \cfrac{v_x}{v}, & \cos(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{i}) = \cfrac{a_x}{a}\\ v_y = \dot{y}, & a_x = \ddot{y} = \dot{v_y}, & \cos(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{j}) = \cfrac{v_y}{v}, & \cos(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{j}) = \cfrac{a_y}{a}\\ v_y = \dot{y}, & a_x = \ddot{z} = \dot{v_z}, & \cos(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{k}) = \cfrac{v_z}{v}, & \cos(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{k}) = \cfrac{a_z}{a}\\ \end{array} $$

3. 自然坐标系下的运动表示

自然坐标系是一种结合运动轨迹分析质点运动的方法。如下图a所示，假设我们已知质点$M$的运动轨迹，此时在轨迹上任选一点$O_1$为原点，并以轨迹延伸的方向为正方向。那么弧长$s = O_1M$称为M点的弧坐标。那么根据轨迹和弧坐标可以唯一地确定质点$M$的位置。

通常我们使用曲率或者曲率半径来描述曲线的弯曲程度。如下图b所示，$M$点处的切线是$MT$，临近的一点$M'$的切线是$M'T'$，过$M$点做$MT_1$平行于$M'T'$，那么$MT$和$MT_1$的夹角$\Delta \theta$被称为邻角。$M$与$M'$之间的弧长为$\Delta s$。那么轨迹的曲率就被定义为$\Delta s \to 0$时，邻角与弧长比值的极限：

$$ k = \lim_{\Delta s \to 0} \cfrac{\Delta \theta}{\Delta s} $$

曲率半径是曲率$k$的倒数，记为$\rho = \cfrac{1}{k}$。圆的曲率半径是一个常数，就是它的半径。直线的曲率半径为$\infty$。


图a	图b	图c	图d

在极限情况$\Delta s \to 0$下，$MT$和$MT_1$所确定的平面被称为密切面，如上图c所示。过点$M$垂直于切线的平面被称为法面。在法面上的所有过点$M$的直线都是曲线在该点上的法线，其中法面与密切面的交线被称为主法线。同时垂直于主法线和切线的法线被称为副法线。我们定义单位矢量$\boldsymbol{e_t}$沿切线指向轨迹延伸的方向，单位矢量$\boldsymbol{e_n}$沿主法线指向轨迹的凹面，单位矢量$\boldsymbol{e_b}$沿着副法线并与$\boldsymbol{e_t}, \boldsymbol{e_n}$构成右手坐标系$\boldsymbol{e_b} = \boldsymbol{e_t} \times \boldsymbol{e_n}$。这个坐标系就是所谓的自然坐标系。

根据自然坐标系的描述，我们可以发现该坐标系的原点就在质点$M$上，并且随着质点$M$一起运动。因此坐标系的基向量$e_t, e_n, e_b$也随之一起移动，并不断地改变着方向。这与刚才看到地直角坐标系有着本质的不同，如果说直角坐标系是第三人称视角，那么自然坐标系就是第一人称视角。可以想象，在自然坐标系下的速度与加速度的表达形式都与直角坐标系有着很大的不同。

根据式($\ref{f1}$)关于速度矢量的定义，$M$点的速度可以表示为:

$$ \boldsymbol{v} = \cfrac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} = \cfrac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}s}\cfrac{\text{d}s}{\text{d}t} $$

式中，$\text{d}s/\text{d}t$是质点$M$的线速度在切线上的投影，记为$v_t$。$\left\|\text{d}\boldsymbol{r}\right\| / \text{d}s$描述的是弧长与弦长比值的极限，为1。而$\text{d}\boldsymbol{r}$的极限方向就是曲线的切线方向，$\boldsymbol{e_t}$。所以在自然坐标系下，速度矢量可以表示为:

$$ \boldsymbol{v} = v_t \boldsymbol{e_t} = \dot{s}\boldsymbol{e_t} $$

对上式继续求导，我们可以得到$M$点的加速度，即：

$$ \boldsymbol{a} = \cfrac{\dot{s}\boldsymbol{e_t}}{dt} = \ddot{s}\boldsymbol{e_t} + \dot{s}\dot{\boldsymbol{e_t}} $$

上式中的第一项$\ddot{s}\boldsymbol{e_t}$实质上就是加速度在切线方向上的投影，与我们在一开始的矢量表示法中介绍的切向加速度如出一辙。第二项$\dot{s}\dot{\boldsymbol{e_t}}$所描述的是速度矢量方向的改变，即法向加速度。我们对其进行如下的推演：

$$ \dot{s}\dot{\boldsymbol{e_t}} = \dot{s}\cfrac{\text{d}\boldsymbol{e_t}}{\text{d}s}\cfrac{\text{d}s}{\text{d}t} = \dot{s}^2\cfrac{\text{d}\boldsymbol{e_t}}{\text{d}s} $$

如上图d所示，设$M$和$M'$处的切向量分别为$\boldsymbol{e_t}, \boldsymbol{e_t'}$。过$M$点做$\boldsymbol{e_t''} = \boldsymbol{e_t'}$，有矢量关系$\Delta \boldsymbol{e_t} = \boldsymbol{e_t''} - \boldsymbol{e_t}$，记$\boldsymbol{e_t''}$与$\boldsymbol{e_t}$之间的夹角为$\Delta \theta$。根据三角关系，有 $$ \left\|\Delta \boldsymbol{e_t}\right\| = |2\sin(\Delta \theta / 2)| $$ 那么 $$ \left\|\cfrac{\text{d}\boldsymbol{e_t}}{\text{d}s}\right\| = \lim_{s\to 0} \left\|\cfrac{\Delta \boldsymbol{e_t}}{\Delta s} \right\| = \lim_{s\to 0} \left|\cfrac{1}{\Delta s}·2\sin\left(\cfrac{\Delta \theta}{2}\right) \right| = \lim_{s\to 0} \left|\cfrac{\Delta \theta}{\Delta s}·\cfrac{2\sin\left(\cfrac{\Delta \theta}{2}\right)}{\Delta \theta}\right| = k = \cfrac{1}{\rho} $$ 当$\Delta s \to 0$时，有$\Delta \boldsymbol{e_t}$的极限方向垂直于$\boldsymbol{e_t}$指向轨迹的凹面，此即是主法线矢量$\boldsymbol{e_n}$的方向。此外，加速度矢量在副法线方向上没有投影。所以在自然坐标系下，加速度矢量可以表示为： $$ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a_t} + \boldsymbol{a_n} = \ddot{s}\boldsymbol{e_t} + \cfrac{\dot{s}^2}{\rho}\boldsymbol{e_n} $$ 写成矩阵的形式有： $$ \boldsymbol{a} = \begin{bmatrix} \ddot{s} \\ \cfrac{\dot{s}^2}{\rho} \\ 0 \end{bmatrix} $$

4. 总结

本文中，我们先以矢量的形式介绍了质点运动过程中的位矢、速度、加速度的定义和表述形式。然后具体介绍了直角坐标系和自然坐标系两种常用的坐标系统，并以具体的示例介绍了使用方法。

其中直角坐标系是第三人称的坐标系统，坐标轴与参考点固连在一起，处于静止的状态。自然坐标系是第一人称的坐标系统，坐标轴与运动的质点固连在一起，随着质点的运动而不断地变化。两种坐标系各有自己的优点和使用的场景，一般而言直角坐标系通常用于分析质点的运动轨迹，自然坐标系则用于已知轨迹分析质点的速度和加速度特性。

除了这两个坐标系统之外，人们有时还会建立极坐标、球坐标、圆柱坐标等各种不同形式的坐标系。一般情况下，这些不同的坐标系之间都存在着一种一一映射的关系。有时因为一些运动特性或者约束的存在使得在某种坐标系统下具有较好的数学形式或者简单的求解方法，我们会选择在这个坐标系下分析问题。但为了直观的描述运动，我们还会费点功夫把运动轨迹、速度或者加速度曲线转换到直角坐标系或者其它坐标系下作图。