上确界和下确界

设$X = \{ x \} $为实数的有界集合。若：

每一个$x \in X$满足不等式$x ≥ m$；
对于任意的$\varepsilon > 0$，存在有$x'\in X$，使$x' < m + \varepsilon $

则数$m=\text{inf}\{x\}$称为集合$X$的下确界。同样，若：

每一个$x \in X$满足不等式$x ≤ M$；
对任意的$\varepsilon > 0$，存在有$x'' \in X$，使$x'' > M - \varepsilon $

则数$M=\text{sup}\{X\}$称为集合$X$的上确界。

若集合$X$下方无界，则通常说：$inf\{X\} = -\infty$；若集合$X$上方无界，则通常说：$sup\{X\} = +\infty$。

根据上下确界的定义，我们知道上确界$M$是集合$X$的最小上界，下确界$m$是集合$X$的最大下界。关于上下确界，存在一个确界定理：任何非空且上方有界的实数集必有上确界，任何非空且下方有界的实数集必有下确界。确界定理是实数连续性的一种表现形式。

【15】证明确界定理。

证法一(参见《吉米多维奇》)：

(1)对于一个非空且下方有界的实数集$X$，若其中有最小数，则该最小数就是$X$的下确界$m$。因为，对于任意$x \in X$都有$x ≥ m$说明$m$是$X$的下界，而且是所有下界中最大的那个。

(2)若$X$中不存在最小数，我们把所有$X$的下界归为集合$A$，其余实数均归为集合$B$。那么集合$X$包含于集合$B$，说明集合$B$非空，而且集合$B$中的所有元素都比$A$中的任何一个元素都大。所以集合$A$与集合$B$构成了一个实数的分割。因此唯一确定了一个实数，该实数就是$A$中的最大元素，也就是集合$X$的下确界。

(3)同理，可以证明确界定理中提到的另外一个命题。口

证法二(参见[1]，其中涉及到了闭区间套定理)

(1)设非空集合$X$有一个上界$\alpha$，任取$x \in X$。那么集合$X$的上确界$M$一定在区间$[x,\alpha]$中。令$a_1 = x, b_1 = \alpha$，我们取其中点$\frac{a_1+b_1}{2}$记为$c_1$。如果$c_1 \in X$，那么$M$一定在区间$[c_1, b_1]$中，否则在$[a_1,c_1]$中。我们用$[a_2,b_2]$标识涵有$M$的那段区间。

(2)重复上面的讨论，我们可以得到一个闭区间套： $I_n = [a_n, b_n], n \in N^*, I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset ..., |I_n| = \frac{\alpha - x}{2^{n-1}}$。这个闭区间套具有如下的两个特征：

$I_n$中包含$X$中的点；
$I_n$的右边没有$X$中的点；

根据闭区间套定理，我们知道存在唯一实数$\beta \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$。

(3)因此，$\lim a_n = \lim b_n = \beta$。因为$I_n$的右边没有$X$中的点，所以对于任意$x \in X$都有$x ≤ b_n$。令$n \to \infty$，有$x ≤ \beta$，所以$β$是$X$的一个上界。

(4)由于$\lim a_n = β$，所以$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in N^*, s.t. β - \varepsilon < a_N $。因为，$I_n$中一定有$X$中的点，记为$d$。因此$d ≥ a_N > \beta - \varepsilon$，说明$β$是$X$的最小上界。

(5)同理，可以证明确界定理中提到的另外一个命题。口

【16】证明：一切有理真分数$\frac{m}{n}$($m,n \in N^*, 0 < m < n$)所成的集合无最小和最大的元素，并求这个集合的下确界和上确界。

证：(1)对于任何一个有理真分数$\frac{m}{n}$都有真分数$\frac{m}{n+1} < \frac{m}{n}$，所以该集合无最小元素。

(2)也存在一个真分数$\frac{m+1}{n+1}$ > \frac{m}{n}\)，所以该集合亦无最大元素。

(3)其下确界为0，上确界为1。下面证明之：

因为存在关系$0 < m < n$，所以任何有理真分数$\frac{m}{n} > 0$，即0是该集合的一个下界。
又因为$\forall \varepsilon > 0, \exists n \in N^*$，使得当$n>\frac{1}{\varepsilon}$时都有$\frac{1}{n+1}<\varepsilon$。所以0是该集合的下确界。同理我们可以证明1是其上确界。

【17】有理数$r$满足不等式$r^2 < 2$求这些有理数$r$所成集合的下确界和上确界。

其下确界为$-\sqrt{2}$上确界为$\sqrt{2}$。

【18】设$\{-x\}$为数的集合，这些数是与$x\in\{x\}$符号相反的数，证明等式：
$inf\{-x\} = -sup\{x\}, sup\{-x\} = -inf\{x\}$。

证：(1)不妨设$inf\{-x\} = m$，那么根据下确界的定义有：

当$-x \in \{-x\} $时，有$m ≤ -x$；
对于任意$\varepsilon > 0$都有$-x \in \{-x\}$，使得$-x < m + \varepsilon$。

因此，可以推出如下两个性质：

当$x \in \{x\}$时，有$-m ≥ x$；
对于任意的$\varepsilon > 0$都有$x in \{x\}$，使得$x > -m - \varepsilon$。

这正是集合$\{x\}$的上确界$sup\{x\} = -m$的定义。因此$inf\{-x\} = -sup\{x\}$。

(2)不妨设$sup\{-x\} = M$，那么根据商榷节的定义有：

对于$-x \in \{-x\} $时，有$M ≥ -x$；
对于任意$\varepsilon > 0 $都有$-x \in \{-x\}$，使得$-x > M - \varepsilon$。

因此，可以推出如下两个性质：

对于$x \in \{x\}$时，有$-M ≤ x$；
对于任意$\varepsilon > 0 $都有$x \in \{-x\}$，使得$x < -M + \varepsilon$。

这正是集合$\{x\}$的下确界$inf\{x\} = -M$的定义。因此$sup\{-x\} = -inf\{x\}$。口

【19】设$\{x+y\}$为所有$x+y$这些和的集合，其中$x \in \{x\}, y \in \{y\}$。证明等式：(1)$inf\{x+y\} = inf\{x\} + inf\{y\}$；(2)$sup\{x+y\} = sup\{x\} + sup\{y\}$。

证：不妨设$inf\{x\} = m_x, inf\{y\} = m_y$，根据下确界的定义有：

对于任意$x \in \{x\}, y \in \{y\}$，有$x ≥ m_x, y ≥ m_y$；
对于任意$\varepsilon > 0$，都有$x \in \{x\}, y \in \{y\}$，使得$x < m_x + \frac{\varepsilon}{2}, y < m_y + \frac{\varepsilon}{2}$。

因此，对于任意$x+y \in \{x+y\}$有如下性质：

$x + y ≥ m_x + m_y$，也就是说$m_x + m_y$是$\{x+y\}$的下界；
对于任意的$\varepsilon > 0$都有$x+y \in \{x+y\}$，使得$x + y < m_x + m_y + \varepsilon$。

因此，$m_x+m_y$是集合$x+y$的下确界，即$inf\{x+y\} = inf\{x\} + inf\{y\}$。

同理，可以证明$sup\{x+y\} = sup\{x\} + sup\{y\}$。口

【20】设$\{xy\}$为所有$xy$乘积的集合，其中$x\in\{x\}, y \in \{y\}$，且$x≥0, y≥0$。证明等式：(1)$inf\{xy\} = inf\{x\}inf\{y\}$；(2)$sup\{x\}sup\{y\} = sup\{xy\}$。

证：不妨设$inf\{x\} = m_x, inf\{y\} = m_y$，因为$x≥0, y≥0$，根据下确界的定义有：

对于任意$x \in \{x\}, y \in \{y\}$，有$x ≥ m_x, y ≥ m_y$；
对于任意$\varepsilon > 0$，都有$x \in \{x\}, y \in \{y\}$，使得$x < m_x + \sqrt{\varepsilon}, y < m_y + \sqrt{\varepsilon}$。

因此，对于任意$xy \in \{xy\}$有如下性质：

$xy ≥ m_xm_y$，也就是说$m_xm_y$是$\{xy\}$的下界；
对于任意的$\varepsilon > 0 $都有$xy \in \{xy\}$，使得： $$ \begin{align} xy & < (m_x + \sqrt{\varepsilon})(m_y + \sqrt{\varepsilon}) \\ & = m_xm_y + \sqrt{\varepsilon}(m_x + m_y) + \varepsilon \\ & < m_xm_y + \varepsilon \end{align} $$

所以$inf\{xy\} = inf\{x\}inf\{y\}$。同理，可以证明$sup\{xy\} = sup\{x\}sup\{y\}$。口

参考资料

[1]. 常庚哲,史济怀.数学分析教程(上册).高等教育出版社,2003

上确界和下确界

【15】证明确界定理。

【16】证明：一切有理真分数\(\frac{m}{n}\)(\(m,n \in N^*, 0 < m < n\))所成的集合无最小和最大的元素，并求这个集合的下确界和上确界。

【17】有理数\(r\)满足不等式\(r^2 < 2\)求这些有理数\(r\)所成集合的下确界和上确界。

【18】设\(\{-x\}\)为数的集合，这些数是与\(x\in\{x\}\)符号相反的数，证明等式：
\(inf\{-x\} = -sup\{x\}, sup\{-x\} = -inf\{x\}\)。

【19】设\(\{x+y\}\)为所有\(x+y\)这些和的集合，其中\(x \in \{x\}, y \in \{y\}\)。证明等式：(1)\(inf\{x+y\} = inf\{x\} + inf\{y\}\)；(2)\(sup\{x+y\} = sup\{x\} + sup\{y\}\)。

【20】设\(\{xy\}\)为所有\(xy\)乘积的集合，其中\(x\in\{x\}, y \in \{y\}\)，且\(x≥0, y≥0\)。证明等式：(1)\(inf\{xy\} = inf\{x\}inf\{y\}\)；(2)\(sup\{x\}sup\{y\} = sup\{xy\}\)。

参考资料

上确界和下确界

【15】证明确界定理。

【16】证明：一切有理真分数\(\frac{m}{n}\)(\(m,n \in N^*, 0 < m < n\))所成的集合无最小和最大的元素， 并求这个集合的下确界和上确界。

【17】有理数\(r\)满足不等式\(r^2 < 2\)求这些有理数\(r\)所成集合的下确界和上确界。

【18】设\(\{-x\}\)为数的集合，这些数是与\(x\in\{x\}\)符号相反的数，证明等式： \(inf\{-x\} = -sup\{x\}, sup\{-x\} = -inf\{x\}\)。

【19】设\(\{x+y\}\)为所有\(x+y\)这些和的集合，其中\(x \in \{x\}, y \in \{y\}\)。 证明等式：(1)\(inf\{x+y\} = inf\{x\} + inf\{y\}\)；(2)\(sup\{x+y\} = sup\{x\} + sup\{y\}\)。

【20】设\(\{xy\}\)为所有\(xy\)乘积的集合，其中\(x\in\{x\}, y \in \{y\}\)，且\(x≥0, y≥0\)。 证明等式：(1)\(inf\{xy\} = inf\{x\}inf\{y\}\)；(2)\(sup\{x\}sup\{y\} = sup\{xy\}\)。

参考资料

【16】证明：一切有理真分数\(\frac{m}{n}\)(\(m,n \in N^*, 0 < m < n\))所成的集合无最小和最大的元素，并求这个集合的下确界和上确界。

【18】设\(\{-x\}\)为数的集合，这些数是与\(x\in\{x\}\)符号相反的数，证明等式：
\(inf\{-x\} = -sup\{x\}, sup\{-x\} = -inf\{x\}\)。

【19】设\(\{x+y\}\)为所有\(x+y\)这些和的集合，其中\(x \in \{x\}, y \in \{y\}\)。证明等式：(1)\(inf\{x+y\} = inf\{x\} + inf\{y\}\)；(2)\(sup\{x+y\} = sup\{x\} + sup\{y\}\)。

【20】设\(\{xy\}\)为所有\(xy\)乘积的集合，其中\(x\in\{x\}, y \in \{y\}\)，且\(x≥0, y≥0\)。证明等式：(1)\(inf\{xy\} = inf\{x\}inf\{y\}\)；(2)\(sup\{x\}sup\{y\} = sup\{xy\}\)。