吉米多维奇

所谓的数学归纳法是指，如果一个定理对于任意的正整数\(n\)都成立，那么我们只需要证明两点就可以了：

1. 该定理对\(n=1\)成立；
2. 如果该定理对\(n=k\)成立，那么对\(n=k+1\)也成立。

若分有理数为A和B两类，使其满足如下条件，则称该分类方法为对有理数的一种分割：

• 两类均为非空集；
• 每一个有理数一定属于其中一类，而且只能属于其中一类；
• 属于A类(下类)的任一数小于属于B类(上类)的任何数。

设\(X = \{ x \} \)为实数的有界集合。

若：(1).每一个\(x \in X\)满足不等式\(x ≥ m\)；(2)对于任意的\(\varepsilon > 0\)，存在有\(x'\in X\)，使\(x' < m + \varepsilon \)， 则数\(m=inf\{x\}\)称为集合\(X\)的下确界。

若：(1).每一个\(x \in X\)满足不等式\(x ≤ M\)；(2)对任意的\(\varepsilon > 0\)，存在有\(x'' \in X\)，使\(x'' > M - \varepsilon \)， 则数\(M=sup\{X\}\)称为集合\(X\)的上确界。

若\(x\)为实数，则用下列条件所确定的非负数\(|x|\)，称为\(x\)的绝对值。 $$|x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x ≥ 0 \end{cases} $$

设\(a\neq0\)是被测量的精确数值，而\(x\)是这个量的近似值，则\(\Delta = |x - a|\)被称为测量的绝对误差，而\(\delta = \frac{\Delta}{|a|}\)被称为测量的相对误差。

若集合\(X\)中的每一个元素\(x\)，都可以找到一个确定的实数\(y \in Y\)与之对应，那么我们称变量\(y\)为变量\(x\)在给定变化域\(X\)上的单值函数， 记为\(y = f(x)\)，集合\(X\)被称为函数的定义域，\(Y\)被称为值域。

若对于\(X\)中的每一个值\(x\)都有多个\(y\)与之对应，则称之为多值函数。

若函数\(f(x)\)在某个区间\(S\)上有定义，并且，当\(x_1 \lt x_2, x_1 \in S, x_2 \in S\)时，有\(f(x_1) ≤ f(x_2)\)。 则函数\(f(x)\)在区间\(S\)上单调递增， 称\(f(x)\)是\(S\)上的增函数。当\(x_1 \lt x_2, x_1 \in S, x_2 \in S\)时，有\(f(x_1) ≥ f(x_2)\)。 则函数\(f(x)\)在区间\(S\)上单调递减， 称\(f(x)\)是\(S\)上的减函数。

函数\(f(x)\)定义于对称区间\((-l, l)\)中，且若\(f(-x) = f(x)\)，则称\(f(x)\)为偶函数， 若\(f(-x) = -f(x)\)，则称\(f(x)\)为奇函数。

若存在\(T > 0\)(广义上的函数周期)，使对于一切被考虑的自变量\(x\)满足等式：\(f(x + nT) = f(x), n = 0, ±1, ±2, \cdots\)， 则函数\(f(x)\)称为周期函数。

简介。

对于函数\(f(x)\)，当\(x \in (a, b)\)时，存在两个数\(m,n\)，使得\(m < f(x) < n\)。则称\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上是有界的。 \(m\)是其下界，\(n\)是其上界。

若\(m =\underset{x \in (a, b)}{\inf}{f(x)}\)，则称\(m\)是\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上的下确界；若\(n = \underset{x \in (a,b)}{\sup}{f(x)}\)， 则称\(n\)是\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上的上确界。

设函数\(f\)在点\(x_0\)附近有定义，但在\(x_0\)处可以没有定义。如果对于任意的实数\(\varepsilon > 0\)，都存在一个实数\(\delta > 0\)，使得当\(|x - x_0| < \delta\)时， 都有\(|f(x) - A| < \varepsilon\)，那么我们称当\(x\)趋近于\(x_0\)时，函数\(f\)有极限\(A\)，记为：\(\lim_{x \to x_0}f(x) = A\)。

上述定义还可以用如下的符号描述：\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 使得当|x - x_0| < \delta时，|f(x) - A| < \varepsilon总成立\)。

Heine定理: 函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有极限\(l\)的充要条件是，任何收敛于\(x_0\)的数列\(\{x_n \neq x_0, n = 1, 2, 3, \cdots\}\)， 数列\(\{f(x_n)\}\)有极限\(l\)。

Cauchy收敛原理: 函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有极限，当且仅当，\(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists \delta > 0\), 使得\(x_0\)的\(\delta\)去心邻域内的两点\(|x_1 - x_0| < \delta\),\(|x_2 - x_0| < \delta\)，有\(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)总成立。

夹逼定理: 若函数\(f(x), g(x), h(x)\)在\(x_0\)的去心邻域内满足不等式\(g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)\)，并且\(g(x), h(x)\)在点\(x_0\)处都有极限\(l\)， 那么函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处也有极限\(l\)，即\(\underset{x \to x_0}{\lim} f(x) = l\)。

设函数极限\(\underset{x \to x_0}{\lim}f(x)\)与\(\underset{x \to x_0}{\lim}g(x)\)存在，那么存在关系： $$ \lim_{x \to x_0}\left[f(x) ± g(x)\right] = \lim_{x \to x_0}f(x) ± \lim_{x \to x_0}g(x) $$ $$ \lim_{x \to x_0}\left[f(x) \cdot g(x)\right] = \lim_{x \to x_0}f(x) \cdot \lim_{x \to x_0}g(x) $$ 特别的，当\(\underset{x \to x_0}{\lim}g(x) \neq 0\)时，有：

对于复合函数\(f \circ g = f(g(x))\)，若函数\(f(t)\)在\(t_0\)的去心邻域中有极限\(l\)，函数\(g(x)\)在\(x_0\)的去心邻域中有极限\(t_0\)，\(g(t) \neq t_0\)， 则有\(\underset{x \to x_0}{\lim} f \circ g(x) = l\)。

根据洛必达法则，可以很容易计算得到\(\underset{x \to 0}{\lim}\cfrac{\sin{x}}{x} = 1\)。 关于自然对数底\(e\)， 我们有极限\(\underset{x \to 0}{\lim}\left(1 + x \right)^{\frac{1}{x}} = e\)，\(\underset{x \to \infty}{\lim}\left(1 + \cfrac{1}{x} \right)^{x} = e\)。 通过一些变量替换的技巧，这两个函数极限可以建立起计算幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数极限的桥梁。