函数的性质

若函数\(f(x)\)在某个区间\(S\)上有定义，并且，当\(x_1 \lt x_2, x_1 \in S, x_2 \in S\)时，有\(f(x_1) ≤ f(x_2)\)。则函数\(f(x)\)在区间\(S\)上单调递增， 称\(f(x)\)是\(S\)上的增函数。当\(x_1 \lt x_2, x_1 \in S, x_2 \in S\)时，有\(f(x_1) ≥ f(x_2)\)。则函数\(f(x)\)在区间\(S\)上单调递减， 称\(f(x)\)是\(S\)上的减函数。

函数\(f(x)\)定义于对称区间\((-l, l)\)中，且若\(f(-x) = f(x)\)，则称\(f(x)\)为偶函数， 若\(f(-x) = -f(x)\)，则称\(f(x)\)为奇函数。

若存在\(T > 0\)(广义上的函数周期)，使对于一切被考虑的自变量\(x\)满足等式：\(f(x + nT) = f(x), n = 0, ±1, ±2, \cdots\)， 则函数\(f(x)\)称为周期函数。

【214】试证\(f(x) = x^2\)在区间\([0,+\infty)\)上单调递增。

证：设\(x_1, x_2\)是区间\([0,+\infty)\)上的两个点，并且\(x_1 < x_2\)。有\(f(x_2) - f(x_1) = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 + x_1)(x_2 - x_1)\)。

因为\(x_1, x_2 \in [0, +\infty)\)，所以\((x_2 + x_1) ≥ 0\)；

并且\(x_1 < x_2\)，有\((x_2 - x_1) > 0\)。所以\(f(x_2) - f(x_1) ≥ 0\)，在区间\([0,+\infty)\)上单调递增。

【215】试证\(f(x) = \sin (x)\)在区间\([-\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增。

证：设\(x_1, x_2 \in [-\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{\pi}{2}]\)，并且\(x_1 < x_2\)。根据和差化积公式有：

$$ \sin (x_2) - \sin (x_1) = 2\sin \left(\cfrac{x_2 - x_1}{2} \right) \cos \left(\cfrac{x_2 + x_1}{2} \right)$$

因为\(\cfrac{x_2 - x_1}{2} \in [0, \cfrac{\pi}{2}]\)，所以\(\sin \left(\cfrac{x_2 - x_1}{2} \right) ≥ 0\)；

又\(\cfrac{x_2 + x_1}{2} \in [-\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{\pi}{2}] \)，所以\(\cos \left(\cfrac{x_2 + x_1}{2} \right) ≥ 0\)。

所以\(f(x_2) ≥ f(x_1)\)，\(f(x) = \sin (x)\)在区间\([-\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增。

【216】试证\(f(x) = \tan (x)\)在区间\(\left(-\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{\pi}{2} \right)\)上单调递增。

证：设\(x_1, x_2 \in \left(-\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{\pi}{2}\right)\)，并且\(x_1 < x_2\)。有：

$$ f(x_2) - f(x_1) = \tan(x_2) - \tan(x_1) = \cfrac{\sin(x_2)}{\cos(x_2)} - \cfrac{\sin(x_1)}{\cos(x_1)} = \cfrac{\sin(x_2)\cos(x_1) - \sin(x_1)\cos(x_2)}{cos(x_1)cos(x_2)} = \cfrac{\sin(x_2 - x_1)}{\cos(x_1)\cos(x_2)} $$

因为\((x_2 - x_1) \in [0, \pi)\)，所以\(\sin(x_2 - x_1) ≥ 0\)。

又，\(\cos(x_1) > 0, \cos(x_2) > 0\)。

所以\(f(x_2) ≥ f(x_1)\)，\(f(x) = \tan (x)\)在区间\(\left(-\cfrac{\pi}{2}, \cfrac{\pi}{2} \right)\)上单调递增。

【217】试证\(f(x) = 2x + \sin (x)\)在区间\((-\infty, +\infty)\)上单调递增。

证：设\(x_2 > x_1\)，有\(f(x_2) - f(x_1) = 2(x_2 - x_1) + \sin(x_2) - \sin(x_1)\)。

$$ \begin{array}{c l} & \left|\sin(x_2) - \sin(x_1)\right| = \left| 2\sin \left(\cfrac{x_2 - x_1}{2} \right) \cos \left(\cfrac{x_2 + x_1}{2} \right) \right| ≤ \left| 2\sin \left(\cfrac{x_2 - x_1}{2} \right) \right| ≤ |x_2 - x_1| \\ \Rightarrow & -(x_2 - x_1) ≤ \sin(x_2) - \sin(x_1) ≤ (x_2 - x_1) \\ \Rightarrow & 2(x_2 - x_1) + \sin(x_2) - \sin(x_1) ≥ 2(x_2 - x_1) - (x_2 - x_1) = x_2 - x_1 > 0 \end{array} $$

所以\(f(x) = 2x + \sin (x)\)在区间\((-\infty, +\infty)\)上单调递增。

【218】试证\(f(x) = x^2\)在区间\((-\infty, 0]\)上单调递减。

证：设\(x_2 > x_1\)，有\(f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) < 0\)。所以递减。

【219】试证\(f(x) = \cos (x)\)在区间\([0, \pi]\)上单调递减。

证：设\(x_1, x_2 \in [0, \pi]\)且\(x_2 > x_1)\)，有：

$$ f(x_2) - f(x_1) = \cos(x_2) - \cos(x_1) = -2\sin \left(\cfrac{x_2 - x_1}{2}\right) \sin \left(\cfrac{x_2 + x_1}{2}\right) $$ $$ \cfrac{x_2 + x_1}{2} \in [0, \pi] \Rightarrow \sin \left(\cfrac{x_2 + x_1}{2}\right) ≥ 0 $$ $$ \cfrac{x_2 - x_1}{2} \in [0, \pi] \Rightarrow \sin \left(\cfrac{x_2 - x_1}{2}\right) ≥ 0 $$

所以\(f(x_2) - f(x_1) < 0\)，\(f(x) = \cos (x)\)在区间\([0, \pi]\)上单调递减。

【220】试证\(f(x) = \cot (x)\)在区间\(0, \pi)\)上单调递减。

证：设\(x_1, x_2 \in (0, \pi)\)且\(x_2 > x_1)\)，有：

$$ f(x_2) - f(x_1) = \cot(x_2) - \cot(x_1) = \cfrac{\sin(x_1)\cos(x_2) - \sin(x_2)\cos(x_1)}{\sin(x_1)\sin(x_2)} = \cfrac{\sin(x_1 - x_2)}{\sin(x_1)\sin(x_2)} < 0 $$

所以\(f(x_2) - f(x_1) < 0\)，\(f(x) = \cot (x)\)在区间\((0, \pi)\)上单调递减。

【221】研究下列函数的单调性：(1)\(f(x) = ax + b\), (2)\(f(x) = ax^2 + bx + c\), (3)\(f(x) = x^3\), (4)\(f(x) = \cfrac{ax+b}{cx+d}\), (5)\(f(x) = a^x, (a>0)\)。

解：(1) 因为\(f'(x) = a\)，所以当\(a ≥ 0\)时，\(f(x)\)在\((-\infty, +\infty)\)上单调递增；当\(a ≤ 0\)时，\(f(x)\)在\((-\infty, +\infty)\)上单调递减。

(2) 因为\(f'(x) = 2ax +b\)，\(x = -\frac{b}{2a}\)时\(f'(x) = 0\)。当\(a > 0\)时，\(f(x)\)在\((-\infty, -\frac{b}{2a}]\)上单调递减，在\([-\frac{b}{2a},+\infty)\)上单调递增； 当\(a < 0\)时，\(f(x)\)在\((-\infty, -\frac{b}{2a}]\)上单调递增，在\([-\frac{b}{2a},+\infty)\)上单调递减。

(3) 因为\(f'(x) = 3x^2\)，所以\(f(x)\)在\((-\infty, +\infty)\)上单调递增。

(4) 因为\(f'(x) = \cfrac{a(cx+d) - c(ax+b)}{(cx+d)^2} = \cfrac{ad - cb}{(cx + d)^2}\)，所以当\(ad ≥ cb\)时\(f(x)\)在\((-\infty, +\infty)\)上递增； 当\(ad ≤ cb\)时\(f(x)\)在\((-\infty, +\infty)\)上递减。

(5) 当\(a \in (0, 1]\)时，\(f(x)\)在\((-\infty, +\infty)\)上递减；当\(a \in [1, +\infty)\)时，\(f(x)\)在\((-\infty, +\infty)\)上递增。

【222】不等式能否逐项取对数？

答：因为对数函数在底大于1时为增函数，小于1时为减函数。不具有唯一的单调性，所以在一些情况下不能够逐项取对数。

【223】设\(\varphi(x), \psi(x), f(x)\)为单调增函数，证明：若\(\varphi(x) ≤ f(x) ≤ \psi(x)\)。则\(\varphi(\varphi(x)) ≤ f(f(x)) ≤ \psi(\psi(x))\)。

证：因为\(\varphi(x) ≤ f(x)\)，所以\(\varphi(\varphi(x)) ≤ \varphi(f(x))\)；又\(\varphi(x)\)单调递增，所以\(\varphi(f(x)) ≤ f(f(x))\)； 同理有\(f(f(x))≤\psi(\psi(x))\)。

【224】求\(y = 2x+3\)的反函数和它的定义域。

解：其反函数为\(x = \frac{y - 3}{2}\)。定义域为\((-\infty, +\infty)\)。

【225】求\(y = x^2\)的反函数和它的定义域。

解：其反函数为\(x = ±\sqrt{y}\)。定义域为\([0, +\infty)\)。

【226】求\(y = \cfrac{1 - x}{1 + x}, x \neq = -1\)的反函数和它的定义域。

解：其反函数为\(x = \cfrac{1-y}{1+y}\)。定义域为\(y \neq = -1\)。

【227】求\(y = \sqrt{1 - x^2}\)，(a) \(-1≤x≤0\)，(b)\(0≤x≤1\)，的反函数和定义域。

解：(a)反函数为\(x = -\sqrt{1 - y^2}\)，定义域为\(0≤y≤1\)。

(b)反函数为\(x = \sqrt{1 - y^2}\)，定义域为\(0≤y≤1\)。

【228】求\(y = \text{sh}(x)\)的反函数和定义域，其中\(\text{sh}(x) = \cfrac{e^x - e^{-x}}{2}, x \in (-\infty, +\infty)\)。

解：有\(2ye^x = e^{2x} - 1 \Rightarrow e^x = y ± \sqrt{y^2 + 1}\)。显然\(\sqrt{y^2 + 1} > y\)， 所以\(x = \ln \left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right), y \in (-\infty, +\infty)\)。

【229】求\(y = \text{th}(x)\)的反函数和定义域，其中\(\text{th}(x) = \cfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}，x \in (-\infty, +\infty)\)。

解：\(e^{2x} = \cfrac{1+y}{1-y}, y \neq 1\)，所以\(x = \cfrac{1}{2}\ln\left( \cfrac{1+y}{1-y} \right)，y \in (-1, 1)\)。

【230】求\(y = \begin{cases} x, & -\infty \lt x \lt 1; \\ x^2, & 1 ≤ x ≤ 4; \\ 2^x, & 4 \lt x \lt +\infty \end{cases}\)的反函数和定义域。

解：\(x = \begin{cases} y, & -\infty \lt y \lt 1; \\ \sqrt{y}, & 1 ≤ y ≤ 16; \\ \log_2y, & 16 \lt x \lt +\infty \end{cases}\)

【231】判断下列各函数是奇函数还是偶函数：(1). \(f(x) = 3x - x^3\); (2). \(f(x) = \sqrt[3]{(1-x)^2} + \sqrt[3]{(1+x)^2}\); (3). \(f(x) = a^x + a^{-x}, (a > 0)\);
(4). \(f(x) = \ln \left(\cfrac{1-x}{1+x}\right)\); (5). \(f(x) = \ln \left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)\)。

解：(1). \(\begin{cases} f(-x) & = -3x - (-x)^3 = -3x + x^3 \\ -f(x) & = -3x + x^3 \end{cases} \Rightarrow f(-x) = -f(x)\)，所以是奇函数。

(2). \(f(-x) = \sqrt[3]{(1+x)^2} + \sqrt[3]{(1-x)^2} = f(x)\)，所以是偶函数。

(3). \(f(-x) = a^{-x} + a^x = f(x)\)，所以是偶函数。

(4). \(\begin{cases} f(-x) & = \ln \left(\cfrac{1+x}{1-x}\right) \\ -f(x) & = -\ln \left(\cfrac{1-x}{1+x}\right) = \ln \left(\cfrac{1+x}{1-x}\right) \end{cases} \Rightarrow f(-x) = -f(x)\)，所以是奇函数。

(5). \(\begin{cases} f(-x) & = \ln \left(-x + \sqrt{1 + x^2}\right) \\ -f(x) & = -\ln \left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) = \ln \left(\cfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\right) = \ln \left(-x + \sqrt{1 + x^2}\right) \end{cases} \Rightarrow f(-x) = -f(x)\)，所以是奇函数。

【232】证明定义于对称区间\((-l, l)\)内的任何函数\(f(x)\)可以表示为偶函数与奇函数之和的形式。

证：定义于对称区间\((-l, l)\)内的任何函数\(f(x)\)都可以写为：

$$ f(x) = \cfrac{f(x) - f(-x)}{2} + \cfrac{f(x) + f(-x)}{2}$$

而\(\cfrac{f(x) - f(-x)}{2}\)是奇函数，\(\cfrac{f(x) + f(-x)}{2}\)是偶函数。所以命题得证。

【233】说明下列各已知函数，那些是周期函数并给出最小周期。
(1).\(f(x) = A \cos (\lambda x) + B \sin (\lambda x)\); (2).\(f(x) = \sin (x) + \cfrac{1}{2}\sin(2x) + \cfrac{1}{3}\sin(3x)\); (3).\(f(x) = 2\tan\left(\cfrac{x}{2}\right) - 3\tan\left(\cfrac{x}{3}\right)\); (4).\(f(x) = \sin^2(x)\);
(5).\(f(x) = \sin(x^2)\); (6).\(f(x) = \sqrt{\tan(x)}\); (7).\(f(x) = \tan\left(\sqrt x\right)\); (8).\(f(x) = \sin(x) + \sin(x\sqrt 2)\);

解：(1) \(f(x) = A \cos (\lambda x) + B \sin (\lambda x)\)是周期函数，最小周期是\(\cfrac{2\pi}{\lambda}\)。

(2) \(\sin(x)\)以\(2\pi\)为周期，\(\cfrac{1}{2}\sin(2x)\)以\(\pi\)为周期，\(\cfrac{1}{3}\sin(3x)\)以\(\cfrac{2\pi}{3}\)为周期， 所以\(f(x) = \sin (x) + \cfrac{1}{2}\sin(2x) + \cfrac{1}{3}\sin(3x)\)以\(2\pi\)为周期。

(3) \(\tan\left(\cfrac{x}{2}\right)\)以\(2\pi\)为周期，\(\tan\left(\cfrac{x}{3}\right)\)以\(3\pi\)为周期， 所以2\tan\left(\cfrac{x}{2}\right) - 3\tan\left(\cfrac{x}{3}\right)以\(6\pi\)为周期。

(4) \(f(x) = \sin^2(x)\)以\(\pi\)为周期。

(5) \(f(x) = \sin(x^2)\)不是周期函数，因为\(x^2\)不是线性函数。

(6) \(f(x) = \sqrt{\tan(x)}\)以\(\pi\)为周期。

(7) \(f(x) = \tan\left(\sqrt x\right)\)不是周期函数，因为\(\sqrt{x}\)只有在\(x ≥ 0\)时有意义。

(8) \(f(x) = \sin(x) + \sin(x\sqrt 2)\)不是周期函数，因为\(\sqrt{2}\)不是有理数。

【234】证明：对于Dirichlet函数 $$ D(x) = \begin{cases} 1, & x为有理数 \\ 0, & x为无理数 \end{cases} $$ 任何有理数都是其周期。

证：因为对于任何有理数\(a\)，当\(x\)为有理数时，\(a+x\)为有理数；\(x\)为无理数时，\(a + x\)仍然是无理数。 所以有\(D(x) = D(x + a)\)。命题得证。

【235】证明：定义于共同的集合且周期是可公度的两个周期函数之和及其乘积也是周期函数。

证：不妨设函数\(f(x)\)的周期为\(T_1\)，\(g(x)\)的周期为\(T_2\)，并且有正整数\(k_1, k_2\)使得\(T_1 = k_1 T, T_2 = k_2 T\)。那么\(f(x + k_2T_1) = f(x), g(x + k_1T_2) = g(x)\)。

所以有\(f(x+k_2T_1) + g(x+k_1T_2) = f(x) + g(x) = f(x + k_1k_2T) + g(x + k_1k_2T)\)。

同理可证两个函数的乘积也是周期函数。

【236】证明：若函数\(f(x)(-\infty \lt x \lt +\infty)\)满足等式\(f(x+T) = kf(x)\)，式中\(k\)和\(T\)为正的常数，则\(f(x) = a^x\phi(x)\)，式中\(a\)为常数， 而\(\phi(x)\)为以\(T\)为周期的函数。

证：因为\(\phi(x)\)为以\(T\)为周期的函数，所以有：

$$ f(x+T) = a^{x+T}\phi(x+T) = a^Ta^x\phi(x) = a^Tf(x) $$

所以对于任何正数\(T\)都有\(k = a^T\)满足\(f(x+T) = kf(x)\)。命题得证。