函数的极限

设函数\(f\)在点\(x_0\)附近有定义，但在\(x_0\)处可以没有定义。如果对于任意的实数\(\varepsilon > 0\)，都存在一个实数\(\delta > 0\)，使得当\(|x - x_0| < \delta\)时， 都有\(|f(x) - A| < \varepsilon\)，那么我们称当\(x\)趋近于\(x_0\)时，函数\(f\)有极限\(A\)，记为： $$ \begin{equation} \lim_{x \to x_0}f(x) = A \end{equation} $$ 上述定义还可以用如下的符号描述： $$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 使得当|x - x_0| < \delta时，|f(x) - A| < \varepsilon总成立 $$ $$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, s.t.: |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon $$ 与数列极限的概念类似，这里的\(\delta\)只强调它的存在性，而且通常是与\(\varepsilon\)相关的， 有时为了强调这种相关性，常写为\(\delta(\varepsilon)\)，但它并不是一个函数。另外，从函数极限的定义来看，函数\(f\)在\(x_0\)处有没有定义无所谓，因为\(|x - x_0| > 0\)， 其讨论范围不包含\(x_0\)。函数\(f\)在\(x_0\)处的极限是否存在，是多少，只与\(x_0\)近旁的值，或者说是\(x_0\)的\(\delta\)邻域内的函数值有关系，与\(f(x_0)\)和远处的值无关。

设函数\(f\)在区间\((x_0, x_0 + r)\)上有定义。如果对于任意的实数\(\varepsilon > 0\)，都存在一个实数\(\delta \in (0, r)\)，使得当\(0 < x - x_0 < \delta\)时， 都有\(|f(x) - A| < \varepsilon\)，那么我们称当\(x\)从右侧趋近于\(x_0\)时，函数\(f\)有右极限\(A\)，记为： $$ \begin{equation} \lim_{x \to x_0^+}f(x) = A \end{equation} $$ 类似的，设函数\(f\)在区间\((x_0 - r, x_0)\)上有定义。如果对于任意的实数\(\varepsilon > 0\)，都存在一个实数\(\delta \in (0, r)\)，使得当\(0 < x_0 - x < \delta\)时， 都有\(|f(x) - A| < \varepsilon\)，那么我们称当\(x\)从左侧趋近于\(x_0\)时，函数\(f\)有左极限\(A\)，记为： $$ \begin{equation} \lim_{x \to x_0^-}f(x) = A \end{equation} $$

左极限和右极限统称为单边极限，为了简便，也将它们分别用符号\(f(x_0^-)\)和\(f(x_0^+)\)来表示。函数\(f\)在\(x_0\)处有极限的一个充分必要条件就是左右极限相等， 即\(f(x_0^-) = f(x_0^+)\)。并且函数的极限是唯一的。

很多时候，我们还会考察当\(x \to \infty\)情形下的函数极限，有时函数的极限是趋于\(\infty\)的。 关于这些与\(\infty\)相关的函数极限和单边极限的描述可以参考【403】【404】【405】【406】。

【401】利用\(\varepsilon-\delta\)语言，证明\(\underset{x \to 2}{\lim}x^2 = 4\)

证：显然\(x^2\)在整个实数域内都有定义，不妨考察区间\([1,3]\)内的函数值，有\(|x^2 - 4| = |x - 2||x + 2| < 5|x - 2|\)。

对于任意的\(\varepsilon > 0\)，取\(\delta = \frac{\varepsilon}{5}\)，当\(|x - 2| < \delta\)时，有\(|x^2 - 4| < 5\delta < \varepsilon\)。

命题得证。口

【402】利用\(\varepsilon-\delta\)语言，证明\(\underset{x \to 1}{\lim} \frac{1}{(1 - x)^2} = +\infty\)

证：显然\(f(x)\)在\(x = 1\)上没有定义，而对于任意的实数\(A > 0\)，都有一个实数\(\delta = \frac{1}{A}\)，使得当\(|x - 1| < \delta\)时， 有\(\frac{1}{(1-x)^2} > A^2\)总成立，所以\(\lim_{x \to 1} \frac{1}{(1 - x)^2} = +\infty\)。口

【403】利用\(\varepsilon-\delta\)语言，表示下列各式：(1) \(\underset{x \to a}{\lim} f(x) = b\); (2) \(\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = b\); (3) \(\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = b\)

(1) \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(|x - a| < \delta\)时，有\(|f(x) - b| < \varepsilon\)总成立。

(2) \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < a - x < \delta\)时，有\(|f(x) - b| < \varepsilon\)总成立。

(3) \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < x - a < \delta\)时，有\(|f(x) - b| < \varepsilon\)总成立。

【404】利用不等式语言，表示下列各式：(1) \(\underset{x \to \infty}{\lim} f(x) = b\); (2) \(\underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = b\); (3) \(\underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = b\)

(1) \(\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0\)，使得当\(|x| > N\)时，有\(|f(x) - b| < \varepsilon\)总成立。

(2) \(\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0\)，使得当\(x < -N\)时，有\(|f(x) - b| > \varepsilon\)总成立。

(3) \(\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0\)，使得当\(x > N\)时，有\(|f(x) - b| > \varepsilon\)总成立。

【405】利用不等式语言，表示下列各式：(1) \(\underset{x \to a}{\lim} f(x) = \infty\); (2) \(\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = \infty\); (3) \(\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = \infty\) (4) \(\underset{x \to a}{\lim} f(x) = +\infty\); (5) \(\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = +\infty\); (6) \(\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = +\infty\); (7) \(\underset{x \to a}{\lim} f(x) = -\infty\); (8) \(\underset{x \to a^-}{\lim} f(x) = -\infty\); (9) \(\underset{x \to a^+}{\lim} f(x) = -\infty\)

(1) \(\forall A > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(|x - a| < \delta\)时，有\(|f(x)| > A\)总成立。

(2) \(\forall A > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < a - x < \delta\)时，有\(|f(x)| > A\)总成立。

(3) \(\forall A > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < x - a < \delta\)时，有\(|f(x)| > A\)总成立。

(4) \(\forall A > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(|x - a| < \delta\)时，有\(f(x) > A\)总成立。

(5) \(\forall A > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < a - x < \delta\)时，有\(f(x) > A\)总成立。

(6) \(\forall A > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < x - a < \delta\)时，有\(f(x) > A\)总成立。

(7) \(\forall A > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(|x - a| < \delta\)时，有\(f(x) < -A\)总成立。

(8) \(\forall A > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < a - x < \delta\)时，有\(f(x) < -A\)总成立。

(9) \(\forall A > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < x - a < \delta\)时，有\(f(x) < -A\)总成立。

【406】利用不等式语言，表示下列各式：(1) \(\underset{x \to \infty}{\lim} f(x) = \infty\); (2) \(\underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = \infty\); (3) \(\underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = \infty\); (4) \(\underset{x \to \infty}{\lim} f(x) = +\infty\); (5) \(\underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = +\infty\); (6) \(\underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = +\infty\); (7) \(\underset{x \to \infty}{\lim} f(x) = -\infty\); (8) \(\underset{x \to -\infty}{\lim} f(x) = -\infty\); (9) \(\underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = -\infty\)

(1) \(\forall A > 0, \exists N > 0\), 使得当\(|x| > N\)时，有\(|f(x)| > A\)总成立。

(2) \(\forall A > 0, \exists N > 0\), 使得当\(x < -N\)时，有\(|f(x)| > A\)总成立。

(3) \(\forall A > 0, \exists N > 0\), 使得当\(x > N\)时，有\(|f(x)| > A\)总成立。

(4) \(\forall A > 0, \exists N > 0\), 使得当\(|x| > N\)时，有\(f(x) > A\)总成立。

(5) \(\forall A > 0, \exists N > 0\), 使得当\(x < -N\)时，有\(f(x) > A\)总成立。

(6) \(\forall A > 0, \exists N > 0\), 使得当\(x > N\)时，有\(f(x) > A\)总成立。

(7) \(\forall A > 0, \exists N > 0\), 使得当\(|x| > N\)时，有\(f(x) < -A\)总成立。

(8) \(\forall A > 0, \exists N > 0\), 使得当\(x < -N\)时，有\(f(x) < -A\)总成立。

(9) \(\forall A > 0, \exists N > 0\), 使得当\(x > N\)时，有\(f(x) < -A\)总成立。

【407】令\(y = f(x)\)，用不等式语言表示下列各式：(1) \(x \to a \Rightarrow y \to b^-\); (2) \(x \to a^- \Rightarrow y \to b^-\); (3) \(x \to a^+ \Rightarrow y \to b^-\); (4) \(x \to a \Rightarrow y \to b^+\); (5) \(x \to a^- \Rightarrow y \to b^+\); (6) \(x \to a^+ \Rightarrow y \to b^+\); (7) \(x \to \infty \Rightarrow y \to b^-\); (8) \(x \to -\infty \Rightarrow y \to b^-\); (9) \(x \to +\infty \Rightarrow y \to b^-\); (10) \(x \to \infty \Rightarrow y \to b^+\); (11) \(x \to -\infty \Rightarrow y \to b^+\); (12) \(x \to +\infty \Rightarrow y \to b^+\)

(1) \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(|x - a| < \delta\)时，有\(0 < y - b < \varepsilon\)总成立。

(2) \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < x - a < \delta\)时，有\(0 < y - b < \varepsilon\)总成立。

(3) \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < a - x < \delta\)时，有\(0 < y - b < \varepsilon\)总成立。

(4) \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(|x - a| < \delta\)时，有\(0 < b - y < \varepsilon\)总成立。

(5) \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < x - a < \delta\)时，有\(0 < b - y < \varepsilon\)总成立。

(6) \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\), 使得当\(0 < a - x < \delta\)时，有\(0 < b - y < \varepsilon\)总成立。

(7) \(\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0\), 使得当\(|x| > N\)时，有\(0 < y - b < \varepsilon\)总成立。

(8) \(\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0\), 使得当\(x < -N\)时，有\(0 < y - b < \varepsilon\)总成立。

(9) \(\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0\), 使得当\(x > N\)时，有\(0 < y - b < \varepsilon\)总成立。

(10) \(\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0\), 使得当\(|x| > N\)时，有\(0 < b - y < \varepsilon\)总成立。

(11) \(\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0\), 使得当\(x < -N\)时，有\(0 < b - y < \varepsilon\)总成立。

(12) \(\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0\), 使得当\(x > N\)时，有\(0 < b - y < \varepsilon\)总成立。

【408】设\(p(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n\)，式中\(a_i (i = 0, 1, \cdots, n)\)为实数。证明：\(\underset{x \to \infty}{\lim} \left| p(x) \right| = +\infty\)。

实际上，题目没有描述完整。如果\(a_i\)全部为0，那么\(p(x) = 0 \Rightarrow \underset{x \to \infty}{\lim} \left| p(x) \right| = 0\)。 如果\(a_i = 0 (i = 0, 1, \cdots, n-1), a_n \neq 0\)，那么有\(\underset{x \to \infty}{\lim} \left| p(x) \right| = a_n\)。所以只有当\(a_i (i = 0, 1, \cdots, n-1)\)不全为0时， 题设中的命题才成立。

证：记\(|a_k| = \text{first}\left\{|a_0|, |a_1|, \cdots, |a_n|\right\}\)，是各项中第一个不为零的系数的绝对值。有

$$\begin{array}{rcl} \left|p(x)\right| & = & \left|a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n\right| \\ & ≥ & |a_k||x|^{n-k} - \left|a_{k+1}x^{n-(k+1)}\right| - \cdots - \left|a_nx^0\right| \\ \end{array}$$

记\(|a_m| = \text{max}\left\{|a_{k+1}|, \cdots, |a_n|\right\}\)，是剩余各项系数中最大的绝对值。有

$$\begin{array}{rcl} \left|p(x)\right| & ≥ & |a_k||x|^{n-k} - \left|a_{k+1}x^{n-(k+1)}\right| - \cdots - \left|a_nx^0\right| \\ & ≥ & |a_k||x|^{n-k} - |a_m|\cfrac{|x|^{n-k} - 1}{|x| - 1} \\ \end{array}$$

所以，\(\forall \varepsilon > 1, \exists N = \varepsilon^{\frac{1}{n-k-1}} + \cfrac{|a_m|}{|a_k|} + \cfrac{1}{|a_k|}> 0\)，使得当\(x > N\)时，有：

$$\begin{array}{rcl} \left|p(x)\right| & ≥ & |a_k||x|^{n-k} - |a_m|\cfrac{|x|^{n-k} - 1}{|x| - 1} \\ & ≥ & |a_k||x|^{n-k} - |a_m|\cfrac{|x|^{n-k} - |x|^{n-k-1} - |x| + 1}{|x| - 1} = |a_k||x|^{n-k} - |a_m|\cfrac{(|x| - 1)(|x|^{n-k-1} - 1)}{|x| - 1} \\ & ≥ & |a_k||x|^{n-k} - |a_m||x|^{n-k-1} \\ & = & \left(|a_k||x| - |a_m| \right)|x|^{n-k-1} \\ & \gt & \left(|a_k|\varepsilon^\frac{1}{n-k-1} + |a_m| -|a_m| + 1\right)\varepsilon^{\frac{n-k-1}{n-k-1}} \\ & \gt & \varepsilon \end{array}$$

【409】设\(R(x) = \cfrac{a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n}{b_0x^m + b_1x^{m-1} + \cdots + b_m}\)，式中\(a_0 \neq 0, b_0 \neq 0\)。证明：\( \underset{x \to \infty}{\lim} R(x) = \begin{cases} \infty, & n > m\\ \cfrac{a_0}{b_0}, & n = m \\ 0, & n < m \end{cases} \)

证：(1). 当\(n > m\)时，有\(\left|R(x)\right| = \left| \cfrac{a_0x^{n-m} + \cdots + a_nx^{-m}}{b_0 + \cdots + b_mx^{-m}} \right| ≥ \cfrac{\left| a_0x^{n-m} + \cdots + a_nx^{-m}\right|}{\left|b_0\right| + \cdots + \left|b_mx^{-m}\right|}\)，不妨设\(|x| > 1\)， 有\(\left|R(x)\right| > \cfrac{\left| a_0x^{n-m} + \cdots + a_nx^{-m}\right|}{\left|b_0\right| + \cdots + \left|b_m\right|}\)。

根据【408】有，\(\forall \varepsilon > 1, \exists N > 0\)，使得当\(x > N\)时，\(\left|R(x)\right| > \cfrac{\varepsilon}{\left|b_0\right| + \cdots + \left|b_m\right|}\)。 所以\(n > m\)时，\(\underset{x \to \infty}{\lim} R(x) = \infty\)。

(2). 当\(n = m\)时，有\(\left|R(x) - \cfrac{a_0}{b_0}\right| = \left| \cfrac{a_0 + \cdots + a_nx^{-m}}{b_0 + \cdots + b_mx^{-m}} - \cfrac{a_0}{b_0} \right| \leq \cfrac{\left|a_0b_0 - a_0b_0\right| + \left|(a_1b_0 - a_0b_1)x^{-1} + \cdots + (a_nb_0 - a_0b_m)x^{-m}\right|}{\left|b_0 + \cdots + b_mx^{-m}\right|}\)

\(\forall 0 < \varepsilon < \text{min}(1, |b_0|), \exists N_1 = \cfrac{\sum |b_i|}{\varepsilon} + 1\)，使得当\(x > N_1\)时， \(\left|b_0 + \cdots + b_mx^{-m}\right| ≥ \left|\left|b_0\right| - \left|b_1x^{-1} + \cdots + b_mx^{-m}\right|\right| > \left|b_0\right| - \varepsilon\)，因此有：

$$ \left|R(x) - \cfrac{a_0}{b_0}\right| ≤\cfrac{\left|a_0b_0 - a_0b_0\right| + \left|(a_1b_0 - a_0b_1)x^{-1} + \cdots + (a_nb_0 - a_0b_m)x^{-m}\right|}{\left|b_0 + \cdots + b_mx^{-m}\right|} < \cfrac{\left|(a_1b_0 - a_0b_1)\right| + \cdots + \left|(a_nb_0 - a_0b_m)\right|}{|b_0|}\varepsilon $$

(3). 当\(n < m\)时，有\(\left|R(x)\right| = \left| \cfrac{a_0x^{n-m} + \cdots + a_nx^{-m}}{b_0 + \cdots + b_mx^{-m}} \right|\)。 所以\(\forall 0 < \varepsilon < \text{min}(1, |b_0|), \exists N_1 = \cfrac{\sum |b_i|}{\varepsilon} + 1\)，使得当\(x > N_1\)时，有

$$ \left|R(x)\right| < \cfrac{\left|a_0x^{n-m}\right| + \cdots + \left|a_nx^{-m}\right|}{|b_0|} < \cfrac{a_0}{b_0} \varepsilon $$

【410】设\(R(x) = \cfrac{P(x)}{Q(x)}\)，式中\(P(x)\)和\(Q(x)\)为\(x\)的多项式，且\(P(a) = Q(a) = 0\)。 极限\(\underset{x \to a}{\lim}\cfrac{P(x)}{Q(x)}\)可能取何值。

解：由于\(P(a) = Q(a) = 0\)，所以多项式\(P(x)\)和\(Q(x)\)可以写成如下的形式：

$$ \begin{cases} P(a) & = (x - a)^k\underset{\mathcal{N}(x)}{\underbrace{(\alpha_0 x^n + \cdots + \alpha_n)}} \\ Q(a) & = (x - a)^l\underset{\mathcal{M}(x)}{(\underbrace{\beta_0 x^m + \cdots + \beta_m)}} \\ \end{cases} $$

式中\(\mathcal{N}(a) \neq 0, \mathcal{M}(a) \neq 0\)。当\(k = l\)时，\(\underset{x \to a}{\lim}\cfrac{P(x)}{Q(x)} = \cfrac{\mathcal{N}(a)}{\mathcal{M}(a)}\)； 当\(k > l\)时，\(\underset{x \to a}{\lim}\cfrac{P(x)}{Q(x)} = 0\)；当\(k < l\)时，\(\underset{x \to a}{\lim}\cfrac{P(x)}{Q(x)} = \infty\)。

【481】证明等式：(1)\(\underset{x \to a}{\lim} \sin x = \sin a\); (2)\(\underset{x \to a}{\lim} \cos x = \cos a\); (3)\(\underset{x \to a}{\lim} \tan x = \tan a, a \neq \cfrac{2n - 1}{2}\pi; n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots\)

解：(1). 因为\(\left|\sin x - \sin a\right| = 2\left|\sin\left(\cfrac{x - a}{2}\right)\cos\left(\cfrac{x + a}{2}\right) \right| \leq 2 \left|\sin \left(\cfrac{x - a}{2} \right) \right| \leq |x - a|\)。

所以，对于任意的\(\varepsilon > 0\)，总存在\(\delta = \varepsilon\)，使得\(|x - a| < \delta\)时，\(\left|\sin x - \sin a\right| < \varepsilon\)。 所以\(\underset{x \to a}{\lim} \sin x = \sin a\)。

(2). \(\underset{x \to a}{\lim} \cos x = \underset{x \to a}{\lim} \sin \left(\cfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\cfrac{\pi}{2} - a\right) = \cos a\)

(3). \(\underset{x \to a}{\lim} \tan x = \underset{x \to a}{\lim} \cfrac{\sin x}{\cos x} = \cfrac{\sin a}{\cos a} = \tan a\)

【608】证明：若函数\(f(x)\)定义于区间\((a, +\infty)\)，且在每一个有限的区间\((a,b)\)内是有界的，则 (1) \(\underset{x \to +\infty}{\lim} \cfrac{f(x)}{x} = \underset{x \to +\infty}{\lim} \left[f(x + 1) - f(x)\right] \)， (2) \(\underset{x \to +\infty}{\lim} \left[f(x)\right]^{\frac{1}{x}} = \underset{x \to +\infty}{\lim} \cfrac{f(x+1)}{f(x)}, f(x) \geq c \gt 0\)。

【609】证明：(1)若函数\(f(x)\)定义于区域\(x \gt a\)内; (2) 在每一个有限的区域\(a \lt x \lt b\)内是有界的; (3) \(\underset{x \to +\infty}{\lim} \left[f(x+1) - f(x)\right] = +\infty\)(或\(-\infty\))，则 \(\underset{x \to +\infty}{\lim} \cfrac{f(x)}{x} = +\infty \)(或\(-\infty\))。

【610】证明：(1)若函数\(f(x)\)定义于区域\(x \gt a\)内; (2) 在每一个有限的区域\(a \lt x \lt b\)内是有界的; (3) 存在着有限的或无穷的(带确定符号的无穷，即\(+\infty\)和\(-\infty\))极限\(\underset{x \to +\infty}{\lim} \cfrac{f(x+1) - f(x)}{x^n} = l\)， 则\(\underset{x \to +\infty}{\lim} \cfrac{f(x)}{x^{n+1}} = \cfrac{l}{n+1}\)。

============只是分割线而已===============

【L1】证明\(\underset{x \to 0}{\lim} x \sin \cfrac{1}{x} = 0\)。

证：函数\(x \sin \cfrac{1}{x}\)在0的去心邻域内有定义。并且\(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta = \varepsilon\)，使得\(0 < |x - 0| = |x| < \delta\)时，有\( \left| x \sin \cfrac{1}{x} - 0\right| < |x| < \varepsilon \)。