函数的概念

若集合$X$中的每一个元素$x$，都可以找到一个确定的实数$y \in Y$与之对应，那么我们称变量$y$为变量$x$在给定变化域$X$上的单值函数，记为$y = f(x)$ 集合$X$被称为函数的定义域，$Y$被称为值域。

若对于$X$中的每一个值$x$都有多个$y$与之对应，则称之为多值函数。

【151】求$y = \frac{x^2}{1+x}$的定义域。

解：函数有意义，要求分母不为零，所以有$1+x \neq 0$，其定义域为$(-\infty, -1)\cup(-1,+\infty)$

【152】求$y = \sqrt{3x - x^3}$的定义域。

解：对$3x-x^3$多项式分解有$x(\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)$，为使得其为非负数，有定义域$(-\infty, -\sqrt{3}]\cup[0, \sqrt{3}]$

【153】求$y = (x - 2)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$的定义域。

解：首先分母不能为零，有$x \neq 1$。其次，根号下的数应大于等于0，有$(1+x)(1-x) ≥ 0$，所以有定义域$[-1, 1)$。

【154】求(1)$y = \log{(x^2 - 4)}$，(2)$y = \log{(x+2)}+\log{(x-2)}$的定义域。

解：(1)根据对数函数的定义，有$(x^2 - 4) > 0$，所以其定义域为$(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$。

(2)在$(x+2)>0$且$(x-2)>$时，$y = \log{(x+2)}+\log{(x-2)}$才有定义，所以其定义域为$(2,+\infty)$。

【155】求$y = \sqrt{\sin{(\sqrt{x})}}$的定义域

解：函数若要有定义，需保证$\sin{\sqrt{x}} ≥ 0$，而正弦函数是一个周期函数，在$[2k\pi, (2k+1)\pi],k \in N$上为非负数。所以原函数的定义域为$[4k^2\pi^2,(2k+1)^2\pi^2]$。

【156】求$y = \sqrt{\cos{(x^2)}}$的定义域

解：若要函数有定义，需有$\cos{(x^2)} ≥ 0$，即$0 ≤ x^2 ≤ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi ≤ x^2 ≤ \frac{5\pi}{2} + 2k\pi, k \in N^*$。所以其定义域为$[0, \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cup [\sqrt{\frac{3\pi}{2} + 2k\pi}, \sqrt{\frac{5\pi}{2} + 2k\pi}]\cup[-\sqrt{\frac{5\pi}{2} + 2k\pi}, -\sqrt{\frac{3\pi}{2} + 2k\pi}], k\in N^*$。

【157】求$y = \log{(\sin{\frac{\pi}{x}})}$的定义域

解：若函数有定义，需有$\sin{\frac{\pi}{x}} > 0$，即$2k\pi < \frac{\pi}{x} < (2k+1)\pi, x \neq 0, k \in N$，所以其定义域为： $(1, +\infty)\cup(\frac{1}{2k+1}, \frac{1}{2k}), k \neq 0, k \in N$。

【158】求$y = \frac{\sqrt{x}}{\sin{(\pi x)}}$的定义域

解：需有$x > 0$且$\pi x \neq k\pi, k \in N^*$，所以其定义域为：$(k, k+1), k = 0, 1,\cdots$

【159】求$y = \arcsin(\frac{2x}{1+x})$的定义域

解：需有$x \neq -1$且$-1 ≤ \frac{2x}{1+x} ≤ 1$，解之得$-\frac{1}{3} ≤ x ≤ 1$，所以其定义域为$[-\frac{1}{3}, 1]$。

【160】求$y = \arccos(2\sin{x})$的定义域

解：需有$-1≤2\sin{x}≤1$，解之得$-\frac{\pi}{6} + k\pi ≤x≤\frac{\pi}{6} + k\pi, k \in N$，其定义域为$[-\frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{\pi}{6} + k\pi]$。

【161】求$y = \lg{[\cos{(\lg{x})}]}$的定义域

解：需有$\cos{(\lg{x})} > 0$，所以有$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi ≤ \lg{x} ≤ \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in N$。所以其定义域为$(10^{-\frac{\pi}{2} + 2k\pi}, 10^{\frac{\pi}{2} + 2k\pi})$

【162】求$y = (x - |x|)\sqrt{-\sin^2{\pi x}}$的定义域

解：须有$-\sin^2{\pi x} ≥ 0$，因此只有$\sin{\pi x} = 0$，所以其定义域为所有整数。

【163】求$y = \cot{\pi x} + \arccos{2^x}$的定义域

解：欲使$\cot{\pi x}$有意义，须有$\pi x \neq k\pi, k \in N$，即$x \neq k, k \in N$。
欲使$\arccos{2^x}$有意义，须有$0 < 2^x ≤ 1$，即$x ≤ 0$。
所以其定义域为$(-1 + k, k), k \in N, k ≤0$。

【164】求$y = \arcsin{(1-x)} + \lg{(\lg{x}})$的定义域

解：欲使$\arcsin{(1-x)}$成立，须有$-1 ≤ 1 -x ≤ 1$，即$0 ≤ x ≤ 2$。
欲使$\lg{(\lg{x})}$成立，须有$\lg{x} > 0$，即$x > 1$。所以其定义域为$(1, 2]$。

【165】求$y = (2x)!$的定义域

解：欲使$y = (2x)!$成立，须有$2x \in N^*$，即$x = \frac{n}{2}, n \in N^*$。

【166】求$y = \sqrt{2 + x - x^2}$的定义域和值域。

解：因为$2 + x -x^2 = (x+1)(2-x)$，所以当$-1 ≤ x ≤ 2$时，有意义，其定义域为$[-1,2]$。 $(x+1)(2-x)$在$\frac{1}{2}$处取得最大值$\frac{9}{4}$，所以其值域为$[0,\frac{3}{2}]$。

【167】求$y = \lg{(1 - 2\cos{x})}$的定义域和值域。

解：须有$(1 - 2\cos{x}) > 0$，所以其定义域为$(\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{5\pi}{3} + 2k\pi), k \in N$
所以$-1 ≤ \cos{x} < \frac{1}{2}$，其值域为$(-\infty, \lg{3}]$。

【168】求$y = \arccos{\frac{2x}{1+x^2}}$的定义域和值域。

解：须有$-1 ≤ \frac{2x}{1+x^2} ≤ 1$，其定义域为$[-1, 1]$。值域为$[0, \pi]$。

【169】求$y = \arcsin{\left(\lg{\frac{x}{10}}\right)}$的定义域和值域。

解：须有$-1 ≤ \lg{\frac{x}{10}} ≤ 1$，即$0.1 ≤ \frac{x}{10} ≤ 0$，所以其定义域为$[1,0]$，值域为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。

【170】求$y = (-1)^x$的定义域和值域。

解：其值域为${-1,1}$。其定义域为正整数集。

【171】在底$AC=b$和高$BD=h$的三角形$ABC$内接一个高$MN = x$的矩形$KLMN$，把$KLMN$的周长$P$和面积$S$表示成$x$的函数，并作函数$P(x)$和$S(x)$的图像。

解：容易证明三角形$CMN$与三角形$CBD$相似，所以有$\frac{CN}{CD} = \frac{x}{h}$。此外，还有三角形$AKL$与三角形$ADB$相似，有$\frac{AK}{AD} = \frac{x}{h}$。

整理后有：

$$ \begin{cases} h·CN & = x·(CN + ND) \\ h·AK & = x·(AK + KD) \\ \end{cases} \Rightarrow h·（CN+AK) = x·b \Rightarrow h·(b - KN) = x·b \Rightarrow KN = \frac{b}{h}(h - x) $$

所以有周长$p = \frac{2b}{h}(h - x) + 2x = 2b + (2 - \frac{2b}{h})·x$。面积$s = bx - \frac{b}{h}x^2$。$x$的定义域为$(0, h)$。

从函数的形式上看，$p(x)$是一个直线，下图171(a)—(c)分别描述了$h < b$，$h > b$和$h = b$时的周长函数曲线。图171(d)则描述了面积函数的曲线，它是一个以0和$h$为根的二次函数，在$x=\frac{h}{2}$时取得最大值$\frac{bh}{4}$。


图171(a). $p = 2b + (\frac{2h - 2b}{h})·x$ $h < b$	图171(b). $p = 2b + (\frac{2h - 2b}{h})·x$ $h > b$	图171(c). $p = 2b + (\frac{2h - 2b}{h})·x$ $h = b$	图171(d). $s = bx - \frac{b}{h}·x^2$

【172】在三角形ABC中，边$AB=6 cm, AC=8 cm$角$BAC=x$。把边$BC=a$和面积$ABC=S$表示为变量$x$的函数。做函数$a = a(x)$及$S=S(x)$的图像。

解：令$b = AC, c = AB$。根据余弦定理有：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{x}$，所以有边$BC=a$的函数$a = \sqrt{100 - 96 \cos{x}} $。

有三角形ABC在边$AC$上的高$h = c · \sin{x}$，所以三角形的面积为$S = \frac{1}{2} h b = 24 · \sin{x}$。

函数$a(x)$和$S(x)$的定义域为$x \in (0, \pi)$，下图172(a)和(b)分别是函数$a = a(x)$及$S=S(x)$的图像。


	图172(a). $a = \sqrt{100 - 96 \cos{x}}$	图172(b). $S = \frac{1}{2} h b = 24 · \sin{x}$

【173】在等腰梯形ABCD中，底$AD = a, BC = b, a \gt b$，高$HB = h$，引直线$MN // BH$，$MN$与顶点$A$相距$AM = x$，把图形$ABNMA$的面积$S$表示为变量$x$的函数。作函数$S = S(x)$的图像。

解：图形$ABNMA$由三角形$ABH$和矩形$BNMH$构成，由于$ABCD$是等腰梯形，所以边$AH = \frac{a - b}{2}$。因此，三角形$ABH$的面积为$S_{ABH} = \frac{1}{2} h \frac{a - b}{2}$。又，边$HM = x - \frac{a - b}{2}$，所以矩形$BNMH$的面积是$S_{BNMH} = h(x - \frac{a - b}{2})$。

所以，当$\frac{a-b}{2} \lt x ≤ \frac{a+b}{2}$时，图形$ABNMA$的面积为$S = S_{ABH} + S_{BNMH} = hx - h\frac{a-b}{4}$。函数图像如下图173(a)所示。


图173(a). 当$\frac{a-b}{2} \lt x ≤ \frac{a+b}{2}$时，图形$ABNMA$的面积为$S = hx - h\frac{a-b}{4}$	图173(b). 当$0 < x ≤ \frac{a-b}{2}$时，图形$ANM$的面积示意	图173(c). 当$0 < x ≤ \frac{a-b}{2}$时，图形$ANM$的面积为$S = \frac{h}{a-b}x^2$	图173(d). 当$\frac{a+b}{2} < x < a$时，图形$ABCNM$的面积示意	图173(e). 当$\frac{a+b}{2} < x < a$时，图形$ABCNM$的面积为$S = \frac{h(a - b)}{2} - \frac{h}{a-b}x^2$

当$0 < x <= \frac{a - b}{2}$时，只有三角形$ANM$，如上图173(b)所示。此时，有三角形$ANM$与三角形$ABH$相似。所以有比例关系$\frac{x}{AH} = \frac{NM}{h}$，因此边$NM = \frac{2h}{a - b}x$。所以三角形$ANM$的面积为$S = \frac{h}{a-b} x^2$，如上图173(c)所示。

当$\frac{a - b}{2} < x <= a$时，有多边形$ABCNM$，如上图173(d)所示。容易计算其面积为$S = \frac{a+b}{2} - \frac{h}{a-b} x^2$。

【174】有2g质量均匀分布在$Ox$轴上的闭区间$0 ≤ x ≤ 1$上，另有两个质量为1g的值点分别位于点$x = 2$和$x = 3$。设$m(x)$是区间$(-\infty, x)$内的质量的值，求函数$m = m(x), (-\infty < x < +\infty)$的解析表达式，并作这个函数的图像。

解：在区间$(-\infty, 0)$上，有$m = 0$。

在区间$[0, 1]$上，有$m = 2x$。

在区间$(1, 2)$上，有$m = 2$。

在区间$[2, 3)$上，有$m = 3$。

在区间$[3, +\infty)$上，有$m = 4$。函数图像如右图所示。

【175】函数$y = \text{sgn}(x)$，被定义为: $$ \text{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} $$ 作这个函数的图像，证明：$|x| = x \text{sgn}(x)$。

函数的图像如右图所示。

证：(1)当$x < 0$时，有$|x| = -x$。又，$\text{sgn}(x) = -1$，则$x\text{sgn}(x) = -x = |x|$。

(2)当$x = 0$时，有$|x| = 0$，又，$0·\text{sgn}(0) = 0 = |0|$。

(3)当$x > 0$时，有$|x| = x$，又，$\text{sgn}(x) = 1$，则$x\text{sgn}(x) = x = |x|$。

综上，命题得证。口

【176】函数$y = [x]$(数$x$的整数部分)的定义为：若$x = n + r$，式中$n$为整数且$0 ≤ r < 1$，则$[x] = n$。作这个函数的图像。

如下图176所示。

【177】设$y = \pi(x), x ≥ 0$表示不超过$x$的素数的数目。作这个函数在$0 ≤ x ≤ 20$时的图像。

如下图177所示。


图176. 函数$y = [x]$(数$x$的整数部分)	图177. 函数$y = \pi(x), 0 ≤ x ≤ 20$(不超过$x$的素数的数目)

【178】$y=x^2$把集合$E_x = \{1 ≤ x ≤ 2\}$映射成怎样的集合$E_y$？

解：$y = x^2$在$x = 0$时取得极小值，在区间$[1,2]$上是递增的，所以$E_y = \{1 ≤ y ≤ 4\}$。

【179】$y=\lg(x)$把集合$E_x = \{10 < x < 1000\}$映射成怎样的集合$E_y$？

解：$y = \lg(x)$在整个定义域$x \in (0, +\infty$上都是增函数。所以$E_y = \{1 < y < 3\}$。

【180】$y=\frac{1}{\pi}\text{arccot}(x)$把集合$E_x = \{-\infty < x < +\infty\}$映射成怎样的集合$E_y$？

解：$\text{arccot}(x)$的值域为$(0, \pi)$，所以$E_y = \{0 < y < 1\}$。

【181】$y=\cot(\frac{\pi x}{4})$把集合$E_x = \{0 < |x| ≤ 1\}$映射成怎样的集合$E_y$？

解：$E_y = \{1 ≤ y \lt +\infty\} \cup \{-\infty \lt y ≤ -1 \}$

【182】$y=|x|$把集合$E_x = \{1 ≤ x ≤ 2\}$映射成怎样的集合$E_y$？

解：$E_y = \{1 ≤ y ≤ 2\}$

【183】$x$遍历区间$(0,1)$，试确定$y=a+(b-a)x$所遍历的集合。

解：当$b > a$时，$y$遍历的区间为$(a, b)$。当$b = a$时，$y$只遍历一个点$a$。当$b < a$时，$y$遍历区间$(b, a)$。

【184】$x$遍历区间$(0,1)$，试确定$y=\frac{1}{1-x}$所遍历的集合。

解：$y$遍历区间$(1, +\infty)$。

【185】$x$遍历区间$(0,1)$，试确定$y=\frac{x}{2x - 1}$所遍历的集合。

解：在区间$(0, \frac{1}{2})$上，$y$遍历区间$(-\infty, 0)$。在点$\frac{1}{2}$上$y$无意义。在区间$(\frac{1}{2}, 1)$上， $y$遍历区间$(1, +\infty)$。

【186】$x$遍历区间$(0,1)$，试确定$y=\sqrt{x - x^2}$所遍历的集合。

解：$y$遍历区间$(0, 0.5]$，并在$x = \frac{1}{2}$时取得极值0.5。

【187】$x$遍历区间$(0,1)$，试确定$y=\cot(\pi x)$所遍历的集合。

解：$y$递减地遍历区间$(-\infty, +\infty)$。

【188】$x$遍历区间$(0,1)$，试确定$y=x+[2x]$所遍历的集合。

解：在区间$(0, \frac{1}{2})$，$y$遍历区间$(0, \frac{1}{2})$。在区间$[\frac{1}{2}, 1)$上，$y$遍历区间$[\frac{3}{2}, 2)$。

【189】设$f(x) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x$，求$f(0), f(1), f(2), f(3), f(4)$。

解：$f(0) = 0, f(1) = 0, f(2) = 0, f(3) = 0, f(4) = 0$

【190】设$f(x) = \lg x^2$，求$f(-1), f(-0.001), f(100)$。

解：$f(-1) = 0, f(-0.001) = -6, f(100) = 4$

【191】设$f(x) = 1 + [x]$，求$f(0.9), f(0.99), f(0.999), f(1)$。

解：$f(0.9) = 1, f(0.99) = 1, f(0.999) = 1, f(1) = 2$

【192】设$f(x) = \begin{cases} 1+x, & -\infty \lt x ≤ 0 \\ 2^x, & 0 \lt x \lt +\infty \end{cases}$，求$f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2)$。

解：$f(-2) = -1, f(-1) = 0, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 4$

【193】设$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$，求$f(0), f(-x), f(x+1), f(x) + 1, f(\frac{1}{x}), \frac{1}{f(x)}$。

解：$f(0) = 1, f(-x) = \frac{1+x}{1-x}, f(x+1) = \frac{-x}{2+x}, f(x) + 1 = \frac{2}{1+x}, f(\frac{1}{x}) = \frac{x - 1}{x + 1}, \frac{1}{f(x)} = \frac{1 + x}{1-x}$

【194】设(1)$f(x) = x - x^3$；(2)$f(x) = \sin \frac{\pi}{x}$；(3)$f(x) = (x+|x|)(1-x)$，求满足以下各式的$x$值：(I)$f(x) = 0$;(II)$f(x) > 0$;(III)$f(x) < 0$。

解：(1). 因为$f(x) = x - x^3 = x(1 - x)(1+x)$，所以$x = 0, x = 1, x = -1$时$f(x) = 0$；

在区间$(-\infty, -1)\cap (0, 1)$上$f(x) > 0$，在区间$(-1, 0) \cap (1, +\infty)$上$f(x) < 0$。

(2). 因为$\sin \frac{\pi}{x}$在$\frac{\pi}{x} = k\pi, k \in Z$时取值为0，所以$x = \frac{\pi ^ 2}{k}, k \in Z 且 k \neq 0$时，$\sin \frac{\pi}{x} = 0$；

又$\sin \frac{\pi}{x}$在$\frac{\pi}{x} \in (0 + 2k\pi, \pi + 2k\pi), k \in Z$上大于零，所以当$\frac{1}{2k + 1} < x < \frac{1}{2k}, k \in Z, 且 k \neq 0$时，$\sin \frac{\pi}{x} > 0$；

又$\sin \frac{\pi}{x}$在$\frac{\pi}{x} \in (2k\pi - \pi, 2k\pi), k \in Z$上小于零，所以当$\frac{1}{2k} < x < \frac{1}{2k-1}, k \in Z, 且 k \neq 0$时，$\sin \frac{\pi}{x} < 0$；

(3). 因为$x = 1$时$1-x = 0$，$x ≤ 0$时$x + |x| = 0$，所以$x ≤ 0或x = 1$时，$(x+|x|)(1-x) = 0$；

$x \in (0, 1)$时，$(x+|x|)(1-x) > 0$，$x > 1$时，$(x+|x|)(1-x) < 0$。

【195】设(1)$f(x) = ax + b$；(2)$f(x) = x^2$；(3)$f(x) = a^x$。求$\varphi(x) = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

解：(1) $\varphi(x) = \frac{a(x+h)+b - ax - b}{h} = \frac{ah}{h} = a$

(2) $\varphi(x) = \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$

(3) $\varphi(x) = \frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x\frac{a^h-1}{h}$

【196】设$ax^2 + bx + c$，证明$f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x) \equiv 0$。

证：$f(x+3) = ax^2 + 6ax + 9 + bx + 3b + c$

$f(x+2) = ax^2 + 4ax + 4 + bx + 2b + c$

$f(x+1) = ax^2 + 2ax + 1 + bx + b + c$

二次项系数:$a -3a + 3a - a = 0$；一次项系数$6a -12a + 6a + b -3b + 3b - b = 0 $；

常数项：$9 - 12 + 3 = 0$，$3b - 6b + 3b = 0$，$c - 3c + 3c - c = 0$

所以$f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x) = 0$

【197】若$f(0) = -2, f(3) = 5$，求线性函数：$f(x) = ax + b$。$f(1)$和$f(2)$等于什么(线性插值)?

解：将$f(0) = -2, f(3) = 5$代入函数$f(x) = ax + b$，有：

$$ \begin{cases} -2 & = & 0·a + b \\ 5 & = & 3·a + b \end{cases} $$

解之，有$b = -2, a = \frac{7}{3}$。所以，$f(x) = \frac{7}{3}x - 2$，$f(1) = \frac{1}{3}, f(2) = \frac{8}{3}$。

【198】若$f(-2) = 0, f(0) = 1, f(1) = 5$。求二次有理函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$。$f(-1)$及$f(0.5)$等于什么(二次插值法)?

解：将$f(-2) = 0, f(0) = 1, f(1) = 5$代入函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，有：

$$ \begin{cases} 0 & = 4a -2b + c \\ 1 & = 0a + 0b +c \\ 5 & = a + b + c \end{cases} $$

解之，有$c = 1, a = \frac{7}{6}, b = \frac{17}{6}$。所以，$f(x) = \frac{7}{6}x^2 + \frac{17}{6}x + 1$，$f(-1) = -\frac{2}{3}, f(0.5) = \frac{65}{24}$。

【199】设$f(-1) = 0, f(0) = 2, f(1) = -3, f(2) = 5$。求三次有理函数:$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。

解：将$f(-1) = 0, f(0) = 2, f(1) = -3, f(2) = 5$代入函数$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，有：

$$ \begin{cases} 0 & = -a + b -c + d \\ 2 & = d \\ -3 & = -27a +9b - 3c + d \\ 5 & = 8a + 4b + 2c + d \end{cases} $$

解之，有$d = 2, a = \frac{10}{3}, b = -\frac{7}{2}, c = -\frac{29}{6}$。所以，$f(x) = \frac{10}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 - \frac{29}{6}x + 2$。

【200】设$f(0) = 15, f(2) = 30, f(4) = 90$，求形为$f(x) = a + bc^x$的函数。

解：将$f(0) = 15, f(2) = 30, f(4) = 90$代入函数$f(x) = a + bc^x$，有： $$ \begin{cases} 15 & = a + b & (1) \\ 30 & = a + bc^2 & (2) \\ 90 & = a + bc^4 & (3) \end{cases} \overset{\underset{(2)式-(1)式，(3)式-(2)式}{}}{=======}> \begin{cases} 15 & = b(c^2 - 1) & (4) \\ 60 & = bc^2(c^2 - 1) & (5) \\ \end{cases} \overset{\underset{(5)式/(4)式}{}}{====}> c^2 = 4 \Rightarrow c = 2 $$ 所以，$b = 5, a = 10$，即$f(x) = 10 + 5×2^x$

【201】证明：对于线性函数$f(x) = ax + b$，若自变量的值$x = x_n (n = 1, 2, \cdots)$组成等差数列，则对应的函数值$y_n = f(x_n)(n = 1, 2, \cdots)$也构成等差数列。

证：不妨设等差数列${x_n}$的等差值为$d$，那么$y_{n+1} - y_n = ax_{n+1} + b - ax_n - b = a(x_{n+1} - x_n) = ad$。所以${y_n}$也是一个等差数列，其公差值为$ad$。

【202】证明：对于指数函数$f(x) = a^x (a > 0)$，若自变量的值$x = x_n (n = 1, 2, \cdots)$组成等差数列，则对应的函数值$y_n = f(x_n)$组成等比数列。

证：不妨设等差数列${x_n}$的等差值为$d$，那么$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{a^{x_{n+1}}}{a^{x{n}}} = a^(x_{n+1}-x_n) = a^d$。所以${y_n}$是一个等比数列，其公比值为$a^d$。

【203】设当$0 < u < 1$时函数$f(u)$有定义，求下列函数的定义域：(1)$f(\sin x)^+$，(2)$f(\ln x)$，(3) $f(\frac{[x]}{x})$

解，因为当$0 < u < 1$时函数$f(u)$才有定义，所以我们有：

$$ \begin{cases} 0 \lt \sin x \lt 1 \\ 0 \lt \ln x \lt 1 \\ 0 \lt \frac{[x]}{x} \lt 1 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2k\pi \lt x \lt (2k + 1)\pi, k \in N^* \\ 1 \lt x \lt e \\ x > 1 且 x \not \in Z \end{cases} $$

$[x]$的定义如【176】所示。

【204】设$f(x) = \frac{1}{2}(a^x + a^{-x})(a > 0)$。证明：$f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)·f(y)$。

证：因为$f(x) = \frac{1}{2}(a^x + a^{-x})(a > 0)$，所以有：

$$ \begin{cases} f(x + y) = \frac{1}{2}(a^{x+y} + a^{-x-y}) \\ f(x - y) = \frac{1}{2}(a^{x-y} + a^{-x+y}) \\ f(x)f(y) = \frac{1}{4}(a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y}) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} f(x + y) + f(x - y) & = \frac{1}{2}(a^{x + y} + a^{x - y} + a^{-x - y} + a^{-x+y}) \\ f(x)f(y) & = \frac{1}{4}(a^xa^y + a^xa^{-y} + a^{-x}a^y + a^{-x}a^{-y}) \end{cases} \Rightarrow f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y) $$

【205】设$f(x) + f(y) = f(z)$。求$z$，若：(1)$f(x) = ax$；(2)$f(x) = \frac{1}{x}$；(3)$f(x) = \text{arctan} (x) (|x| < 1)$； (4)$f(x) = \lg \frac{1+x}{1-x}$。

解：(1)因为$f(x) + f(y) = ax + ay = a(x+y)$，所以$z = x + y$。

(2)因为$f(x) + f(y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}$，所以$z = \frac{xy}{x + y}$。

(3)因为$f(x) + f(y) = \text{arctan} (x) + \text{arctan} (y)$，所以不会。

(4)因为$\lg \frac{1+x}{1-x} + \lg \frac{1+y}{1-y} = \lg \frac{(1+x)(1+y)}{(1-x)(1-y)}$，所以$z = \frac{(1+x)(1+y)}{(1-x)(1-y)}$。

【206】设$\varphi(x) = x^2, \psi(x) = 2^x$，求$\varphi(\varphi(x)), \psi(\psi(x)), \varphi(\psi(x)), \psi(\varphi(x))$

解：$\varphi(\varphi(x)) = (x^2)^2 = x^4$；

$\psi(\psi(x)) = 2^{2^x} = 4^x$；

$\varphi(\psi(x)) = (2^x)^2 = 2^{x^2}$；

$\psi(\varphi(x)) = 2^{(x^2)} = 2^{x^2}$。

【207】设$\varphi(x) = \text{sgn} (x), \psi(x) = \frac{1}{x}$，求$\varphi(\varphi(x)), \psi(\psi(x)), \varphi(\psi(x)), \psi(\varphi(x))$

解：$\varphi(\varphi(x)) = \text{sgn} (x)$；

$\psi(\psi(x)) = x$；

$\varphi(\psi(x)) = \text{sgn}(\frac{1}{x}) = \text{sgn}(x)$；

$\psi(\varphi(x)) = \text{sgn} (x)$。

【208】设$\varphi(x) = \begin{cases} 0, & x ≤ 0 \\ x, & x > 0 \end{cases}, \psi(x) = \begin{cases} 0, & x ≤ 0 \\ -x^2, & x > 0 \end{cases}$，求$\varphi(\varphi(x)), \psi(\psi(x)), \varphi(\psi(x)), \psi(\varphi(x))$

解：$\varphi(\varphi(x)) = \varphi(x)$；

$\psi(\psi(x)) = 0$；

$\varphi(\psi(x)) = 0$；

$\psi(\varphi(x)) = \psi(x)$。

【209】设$f(x) = \frac{1}{1-x}$，求$f(f(x)), f(f(f(x)))$。

解：$f(f(x)) = \frac{1}{1-\frac{1}{1-x}} = \frac{x - 1}{x}$。

$f(f(f(x))) = \frac{1}{1 - \frac{x - 1}{x}} = x$。

【210】设$ f_n(x) = \begin{matrix}\underbrace{f(f(\cdots f(x)))} \\ n次 \end{matrix}$，若$f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，求$f_n(x)$。

解：由于$f_1(x) = f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，所以有:

$$ f_2(x) = \cfrac{\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1 + \cfrac{x^2}{1 + x^2}}} = \cfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}\sqrt{\cfrac{1+2x^2}{1+x^2}}} = \cfrac{x}{\sqrt{1 + 2x^2}} $$ $$ f_3(x) = \cfrac{\cfrac{x}{\sqrt{1+2x^2}}}{\sqrt{1 + \cfrac{x^2}{1 + 2x^2}}} = \cfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}\sqrt{\cfrac{1+3x^2}{1+x^2}}} = \cfrac{x}{\sqrt{1 + 3x^2}} $$

所以推测$ f_n(x) = \cfrac{x}{\sqrt{1 + nx^2}} $。根据数学归纳法，我们只需证明$f_{n+1} = \cfrac{x}{\sqrt{1 + (n +1)x^2}}$，即可验证。

$$ f_{n+1}(x) = \cfrac{\cfrac{x}{\sqrt{1+nx^2}}}{\sqrt{1 + \cfrac{x^2}{1 + nx^2}}} = \cfrac{x}{\sqrt{1 + nx^2}\sqrt{\cfrac{1+(n+1)x^2}{1+nx^2}}} = \cfrac{x}{\sqrt{1 + (n+1)x^2}} $$

【211】设$f(x+1) = x^2 -3x + 2$，求$f(x)$。

解：$f(x) = (x - 1)^2 -3(x-1)+2 = x^2 - 5x + 6$。

【212】设$f\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^2 + \frac{1}{x^2}, |x| ≥ 2$，求$f(x)$。

解：$f\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^2 + \frac{1}{x^2} = x^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} - 2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

所以，$f(x) = x^2 - 2$。

【213】设$f\left(\frac{1}{x}\right) = x + \sqrt{1+x^2}, x > 0$，求$f(x)$。

解：$f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + \sqrt{x^2 + 1}}{x}$


图171(a). \(p = 2b + (\frac{2h - 2b}{h})·x\) \(h < b\)	图171(b). \(p = 2b + (\frac{2h - 2b}{h})·x\) \(h > b\)	图171(c). \(p = 2b + (\frac{2h - 2b}{h})·x\) \(h = b\)	图171(d). \(s = bx - \frac{b}{h}·x^2\)


图173(a). 当\(\frac{a-b}{2} \lt x ≤ \frac{a+b}{2}\)时，图形\(ABNMA\)的面积为\(S = hx - h\frac{a-b}{4}\)	图173(b). 当\(0 < x ≤ \frac{a-b}{2}\)时，图形\(ANM\)的面积示意	图173(c). 当\(0 < x ≤ \frac{a-b}{2}\)时，图形\(ANM\)的面积为\(S = \frac{h}{a-b}x^2\)	图173(d). 当\(\frac{a+b}{2} < x < a\)时，图形\(ABCNM\)的面积示意	图173(e). 当\(\frac{a+b}{2} < x < a\)时，图形\(ABCNM\)的面积为\(S = \frac{h(a - b)}{2} - \frac{h}{a-b}x^2\)


	图172(a). \(a = \sqrt{100 - 96 \cos{x}}\)	图172(b). \(S = \frac{1}{2} h b = 24 · \sin{x}\)


图176. 函数\(y = [x]\)(数\(x\)的整数部分)	图177. 函数\(y = \pi(x), 0 ≤ x ≤ 20\)(不超过\(x\)的素数的数目)

函数的概念

【151】求\(y = \frac{x^2}{1+x}\)的定义域。

【152】求\(y = \sqrt{3x - x^3}\)的定义域。

【153】求\(y = (x - 2)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\)的定义域。

【154】求(1)\(y = \log{(x^2 - 4)}\)，(2)\(y = \log{(x+2)}+\log{(x-2)}\)的定义域。

【155】求\(y = \sqrt{\sin{(\sqrt{x})}}\)的定义域

【156】求\(y = \sqrt{\cos{(x^2)}}\)的定义域

【157】求\(y = \log{(\sin{\frac{\pi}{x}})}\)的定义域

【158】求\(y = \frac{\sqrt{x}}{\sin{(\pi x)}}\)的定义域

【159】求\(y = \arcsin(\frac{2x}{1+x})\)的定义域

【160】求\(y = \arccos(2\sin{x})\)的定义域

【161】求\(y = \lg{[\cos{(\lg{x})}]}\)的定义域

【162】求\(y = (x - |x|)\sqrt{-\sin^2{\pi x}}\)的定义域

【163】求\(y = \cot{\pi x} + \arccos{2^x}\)的定义域

【164】求\(y = \arcsin{(1-x)} + \lg{(\lg{x}})\)的定义域

【165】求\(y = (2x)!\)的定义域

【166】求\(y = \sqrt{2 + x - x^2}\)的定义域和值域。

【167】求\(y = \lg{(1 - 2\cos{x})}\)的定义域和值域。

【168】求\(y = \arccos{\frac{2x}{1+x^2}}\)的定义域和值域。

【169】求\(y = \arcsin{\left(\lg{\frac{x}{10}}\right)}\)的定义域和值域。

【170】求\(y = (-1)^x\)的定义域和值域。

【171】在底\(AC=b\)和高\(BD=h\)的三角形\(ABC\)内接一个高\(MN = x\)的矩形\(KLMN\)，把\(KLMN\)的周长\(P\)和面积\(S\)表示成\(x\)的函数， 并作函数\(P(x)\)和\(S(x)\)的图像。

【172】在三角形ABC中，边\(AB=6 cm, AC=8 cm\)角\(BAC=x\)。把边\(BC=a\)和面积\(ABC=S\)表示为变量\(x\)的函数。做函数\(a = a(x)\)及\(S=S(x)\)的图像。

【173】在等腰梯形ABCD中，底\(AD = a, BC = b, a \gt b\)，高\(HB = h\)，引直线\(MN // BH\)，\(MN\)与顶点\(A\)相距\(AM = x\)， 把图形\(ABNMA\)的面积\(S\)表示为变量\(x\)的函数。作函数\(S = S(x)\)的图像。

【175】函数\(y = \text{sgn}(x)\)，被定义为: $$ \text{sgn}(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} $$ 作这个函数的图像，证明：\(|x| = x \text{sgn}(x)\)。

【176】函数\(y = [x]\)(数\(x\)的整数部分)的定义为：若\(x = n + r\)，式中\(n\)为整数且\(0 ≤ r < 1\)，则\([x] = n\)。作这个函数的图像。

【177】设\(y = \pi(x), x ≥ 0\)表示不超过\(x\)的素数的数目。作这个函数在\(0 ≤ x ≤ 20\)时的图像。

【178】\(y=x^2\)把集合\(E_x = \{1 ≤ x ≤ 2\}\)映射成怎样的集合\(E_y\)？

【179】\(y=\lg(x)\)把集合\(E_x = \{10 < x < 1000\}\)映射成怎样的集合\(E_y\)？

【180】\(y=\frac{1}{\pi}\text{arccot}(x)\)把集合\(E_x = \{-\infty < x < +\infty\}\)映射成怎样的集合\(E_y\)？

【181】\(y=\cot(\frac{\pi x}{4})\)把集合\(E_x = \{0 < |x| ≤ 1\}\)映射成怎样的集合\(E_y\)？

【182】\(y=|x|\)把集合\(E_x = \{1 ≤ x ≤ 2\}\)映射成怎样的集合\(E_y\)？

【183】\(x\)遍历区间\((0,1)\)，试确定\(y=a+(b-a)x\)所遍历的集合。

【184】\(x\)遍历区间\((0,1)\)，试确定\(y=\frac{1}{1-x}\)所遍历的集合。

【185】\(x\)遍历区间\((0,1)\)，试确定\(y=\frac{x}{2x - 1}\)所遍历的集合。

【186】\(x\)遍历区间\((0,1)\)，试确定\(y=\sqrt{x - x^2}\)所遍历的集合。

【187】\(x\)遍历区间\((0,1)\)，试确定\(y=\cot(\pi x)\)所遍历的集合。

【188】\(x\)遍历区间\((0,1)\)，试确定\(y=x+[2x]\)所遍历的集合。

【189】设\(f(x) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x\)，求\(f(0), f(1), f(2), f(3), f(4)\)。

【190】设\(f(x) = \lg x^2\)，求\(f(-1), f(-0.001), f(100)\)。

【191】设\(f(x) = 1 + [x]\)，求\(f(0.9), f(0.99), f(0.999), f(1)\)。

【192】设\(f(x) = \begin{cases} 1+x, & -\infty \lt x ≤ 0 \\ 2^x, & 0 \lt x \lt +\infty \end{cases}\)，求\(f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2)\)。

【193】设\(f(x) = \frac{1-x}{1+x}\)，求\(f(0), f(-x), f(x+1), f(x) + 1, f(\frac{1}{x}), \frac{1}{f(x)}\)。

【194】设(1)\(f(x) = x - x^3\)；(2)\(f(x) = \sin \frac{\pi}{x}\)；(3)\(f(x) = (x+|x|)(1-x)\)，求满足以下各式的\(x\)值：(I)\(f(x) = 0\);(II)\(f(x) > 0\);(III)\(f(x) < 0\)。

【195】设(1)\(f(x) = ax + b\)；(2)\(f(x) = x^2\)；(3)\(f(x) = a^x\)。求\(\varphi(x) = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\)

【196】设\(ax^2 + bx + c\)，证明\(f(x+3)-3f(x+2)+3f(x+1)-f(x) \equiv 0\)。

【197】若\(f(0) = -2, f(3) = 5\)，求线性函数：\(f(x) = ax + b\)。\(f(1)\)和\(f(2)\)等于什么(线性插值)?

【198】若\(f(-2) = 0, f(0) = 1, f(1) = 5\)。求二次有理函数：\(f(x) = ax^2 + bx + c\)。\(f(-1)\)及\(f(0.5)\)等于什么(二次插值法)?

【199】设\(f(-1) = 0, f(0) = 2, f(1) = -3, f(2) = 5\)。求三次有理函数:\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)。

【200】设\(f(0) = 15, f(2) = 30, f(4) = 90\)，求形为\(f(x) = a + bc^x\)的函数。

【201】证明：对于线性函数\(f(x) = ax + b\)，若自变量的值\(x = x_n (n = 1, 2, \cdots)\)组成等差数列，则对应的函数值\(y_n = f(x_n)(n = 1, 2, \cdots)\)也构成等差数列。

【202】证明：对于指数函数\(f(x) = a^x (a > 0)\)，若自变量的值\(x = x_n (n = 1, 2, \cdots)\)组成等差数列，则对应的函数值\(y_n = f(x_n)\)组成等比数列。

【203】设当\(0 < u < 1\)时函数\(f(u)\)有定义，求下列函数的定义域：(1)\(f(\sin x)^+\)，(2)\(f(\ln x)\)，(3) \(f(\frac{[x]}{x})\)

【204】设\(f(x) = \frac{1}{2}(a^x + a^{-x})(a > 0)\)。证明：\(f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)·f(y)\)。

【205】设\(f(x) + f(y) = f(z)\)。求\(z\)，若：(1)\(f(x) = ax\)；(2)\(f(x) = \frac{1}{x}\)；(3)\(f(x) = \text{arctan} (x) (|x| < 1)\)； (4)\(f(x) = \lg \frac{1+x}{1-x}\)。

【206】设\(\varphi(x) = x^2, \psi(x) = 2^x\)，求\(\varphi(\varphi(x)), \psi(\psi(x)), \varphi(\psi(x)), \psi(\varphi(x))\)

【207】设\(\varphi(x) = \text{sgn} (x), \psi(x) = \frac{1}{x}\)，求\(\varphi(\varphi(x)), \psi(\psi(x)), \varphi(\psi(x)), \psi(\varphi(x))\)

【208】设\(\varphi(x) = \begin{cases} 0, & x ≤ 0 \\ x, & x > 0 \end{cases}, \psi(x) = \begin{cases} 0, & x ≤ 0 \\ -x^2, & x > 0 \end{cases}\)，求\(\varphi(\varphi(x)), \psi(\psi(x)), \varphi(\psi(x)), \psi(\varphi(x))\)

【209】设\(f(x) = \frac{1}{1-x}\)，求\(f(f(x)), f(f(f(x)))\)。

【210】设\( f_n(x) = \begin{matrix}\underbrace{f(f(\cdots f(x)))} \\ n次 \end{matrix}\)，若\(f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)，求\(f_n(x)\)。

【211】设\(f(x+1) = x^2 -3x + 2\)，求\(f(x)\)。

【212】设\(f\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^2 + \frac{1}{x^2}, |x| ≥ 2\)，求\(f(x)\)。

【213】设\(f\left(\frac{1}{x}\right) = x + \sqrt{1+x^2}, x > 0\)，求\(f(x)\)。

【171】在底\(AC=b\)和高\(BD=h\)的三角形\(ABC\)内接一个高\(MN = x\)的矩形\(KLMN\)，把\(KLMN\)的周长\(P\)和面积\(S\)表示成\(x\)的函数，并作函数\(P(x)\)和\(S(x)\)的图像。

【173】在等腰梯形ABCD中，底\(AD = a, BC = b, a \gt b\)，高\(HB = h\)，引直线\(MN // BH\)，\(MN\)与顶点\(A\)相距\(AM = x\)，把图形\(ABNMA\)的面积\(S\)表示为变量\(x\)的函数。作函数\(S = S(x)\)的图像。