函数的界

对于函数\(f(x)\)，当\(x \in (a, b)\)时，存在两个数\(m,n\)，使得\(m < f(x) < n\)。则称\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上是有界的。 \(m\)是其下界，\(n\)是其上界。

若\(m =\underset{x \in (a, b)}{\inf}{f(x)}\)，则称\(m\)是\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上的下确界；若\(n = \underset{x \in (a,b)}{\sup}{f(x)}\)， 则称\(n\)是\(f(x)\)在区间\((a,b)\)上的上确界。

【381】证明：函数 $$ f(x) = \begin{cases} n, & x = \cfrac{m}{n}(m和n为互素的整数，且n > 0) \\ 0, & x为无理数 \end{cases} $$ 在每一点\(x\)为有限的，但并非有界的(即在这点的任何邻域中是无界的)。

解：不明白"每一点\(x\)为有限的"是个什么意思。

因为有理数在数轴上是稠密的， 所以在\(x_0 = \cfrac{m}{n}\)的\(\delta\)邻域\((\cfrac{m}{n} - \delta, \cfrac{m}{n} + \delta)\)内\((0 < \delta < \cfrac{1}{n})\)， 一定存在一个正整数\(k\)，使得\(n+k\)与\(m\)互质，即有理数\(\cfrac{m}{n+k}\)。

由于实数是连续的，所以如果x为无理数，那么在其\(\delta\)邻域内，一定存在有理数。

所以，对于任意的\(f(x_0)\)，我们总能找到\(|f(x)| > |f(x_0)|\)，因此\(f(x)\)在每一点上都是无界的。

【382】若函数\(f(x)\)在：(1)开区间，(2)闭区间内的每一点有定义且局部有界，则此函数在该开区间内或闭区间内是否为有界的？举出适当的粒子。

解：不明白"局部有界"是个什么鬼。

连续函数在开区间上有定义不一定有界，比如\(f(x) = \cfrac{1}{x}\)，在\((0, +\infty)\)上都有定义，但是当\(x \to 0\)，有\(f(x) \to +\infty\)。

连续函数在有界的闭区间上一定是有界的。

【383】证明：函数\(f(x) = \cfrac{1+x^2}{1+x^4}\)在区间\((-\infty, +\infty)\)中是有界的。

证：当\(|x| ≥ 1\)时，有\(x^4 ≥ x^2\)。此时\(f(x) ≤ 1\)。 当\(|x| < 1\)时，有\(f(x) = \cfrac{1 + x^2}{1 + x^4} < \cfrac{1 + 1}{1 + x^4} < \cfrac{2}{1 + 0} = 2\)。

综上，有\(0 < f(x) < 2\)。所以\(f(x)\)是有界的。

【384】证明：函数\(f(x) = \cfrac{1}{x}\cos\left(\cfrac{1}{x}\right)\)在点\(x = 0\)的任何邻域内是无界的，但当\(x \to 0\)时不成为无穷大。

证：有数列\(\left\{x_k = \cfrac{1}{2k\pi}\right\}, k \in N^*\)使得\(\cos\left(\cfrac{1}{x_k}\right) = 1\)。因此有\(f(x_k) = \cfrac{1}{x_k} = 2k\pi\)。显然当\(k \in +\infty\)时， \(x_k \to 0, f(x_k) \to +\infty\)。所以\(f(x)\)在\(x = 0\)的邻域内是无界的。

又数列\(\left\{x_k = \cfrac{1}{2k\pi + \pi / 2}\right\}, k \in N^*\)使得\(\cos\left(\cfrac{1}{x_k}\right) = 0\)。因此有\(f(x_k) = 0\)。显然当\(x\to 0\)时， 总能找到一个子列使得\(f(x) = 0\)。所以\(x \to 0\)时\(f(x) \not \to \infty\)。

【385】研究函数\(f(x) = \ln x · \sin^2\left(\cfrac{\pi}{x}\right)\)在区间\(0 < x < \varepsilon\)内的有界性。

解：因为\(\ln x\)在区间\((0, +\infty)\)内是单调递增的，并且\(0 ≤ \sin^2\left(\cfrac{\pi}{x}\right) ≤ 1\)。所以有\(f(x) < \ln \varepsilon\)。

又，\(x \to 0\)有\(\ln x \to -\infty\)。并且存在数列\(\left\{x_k = \cfrac{1}{2k + 1/2}\right\}\)， 有\(k \to \infty \Rightarrow x_k \to 0\)且\(\sin^2\left(\cfrac{\pi}{x}\right) = 1\)， 所以\(f(x_k) = \ln x_k\)，当\(k \to \infty\)时，\(f(x_k) \to -\infty\)。

综上，\(f(x)\)在区间\(0 < x < \varepsilon\)上有上界，无下界。

【386】证明：函数\(f(x) = \cfrac{x}{1+x}\)在域\(0 ≤ x \lt +\infty\)内有下确界\(m = 0\)和上确界\(M = 1\)。

证：\(f'(x) = \cfrac{(1+x) - x}{(1 + x)^2} > 0\)，所以\(f(x)\)在域\(0 ≤ x \lt +\infty\)内是增函数。有\(m =\inf f(x) = f(0) = 0\)。

又\(x \to +\infty\)时，有\(f(x) \to 1\)，所以\(M = \sup f(x) = 1\)。

【387】函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上有定义且单调上升，则在此闭区间内函数的下确界和上确界等于什么。

解：下确界为\(f(a)\)，上确界为\(f(b)\)。

【388】求\(f(x) = x^2\)在\((-2,5)\)内的下确界和上确界。

解：下确界为0，上确界为25。

【389】求\(f(x) = \cfrac{1}{1 + x^2}\)在\((-\infty,+\infty)\)内的下确界和上确界。

解：下确界为0，上确界为1。

【390】求\(f(x) = \cfrac{2x}{1 + x^2}\)在\((0,+\infty)\)内的下确界和上确界。

解：下确界为0，上确界为1。

【391】求\(f(x) = x + \cfrac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)内的下确界和上确界。

解：\(f'(x) = 1 - x^{-2}\)，在\(x = 1\)时取得极值，在\((0, 1)\)上递减，在\((1, +\infty)\)上递增。所以下确界为2，无上界。

【392】求\(f(x) = \sin x\)在\((0,+\infty)\)内的下确界和上确界。

解：下确界为-1，上确界为1。

【393】求\(f(x) = \sin x + \cos x\)在\([0, 2\pi]\)内的下确界和上确界。

解：\(f(x) = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\left(\cfrac{\pi}{4}\right) + \cos x \sin \left(\cfrac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \cfrac{\pi}{4}\right)\)。

所以，下确界为\(-\sqrt{2}\)，上确界为\(\sqrt{2}\)。

【394】求\(f(x) = 2^x\)在\((-1, 2)\)内的下确界和上确界。

解：下确界为0.5，上确界为4。

【395】求\(f(x) = [x]\)在\((0, 2)\)和\([0,2]\)内的下确界和上确界。

解：在区间\((0, 2)\)的下确界为0，上确界为1。

在区间\([0, 2]\)的下确界为0，上确界为2。

【396】求\(f(x) = x - [x]\)在\((0, 1)\)内的下确界和上确界。

解：在\((0, 1)\)内\([x] = 0\)，所以下确界为0，上确界为1。

【397】求\(f(x) = x^2\)在下列区间内的振幅：(1)\((1,3)\);(2)\((1.9, 2.1)\);(3)\((1.99, 2.01)\);(4)\((1.999, 2.001)\)

解：(1). 在区间\((1,3)\)的下确界为1，上确界为9，振幅为8。

(2). 在区间\((1.9,2.1)\)的下确界为\(1.9^2\)，上确界为\(2.1^2\)，振幅为0.8。

(3). 在区间\((1.99,2.01)\)的下确界为\(1.99^2\)，上确界为\(2.01^2\)，振幅为0.08。

(4). 在区间\((1.999,2.001)\)的下确界为\(1.999^2\)，上确界为\(2.001^2\)，振幅为0.008。

【398】求函数\(f(x) = \text{arctan}\cfrac{1}{x}\)在下列区间内的振幅：(1) \((-1, 1)\); (2) \((-0.1, 0.1)\); (3) \((-0.01, 0.01)\); (4) \((-0.001, 0.001)\)。

解：(1)振幅为\(2f(1) = \cfrac{\pi}{2}\)。(2)振幅为\(2f(0.1)\)。(3)振幅为\(2f(0.01)\)。(4)振幅为\(2f(0.001)\)。

【399】设\(m[f]\)和\(M[f]\)分别为函数\(f(x)\)在区间\((a,b)\)内的下确界和上确界。证明：若\(f_1(x)\)和\(f_2(x)\)为定义于\((a,b)\)内的函数，则 $$ m[f_1 + f_2] ≥ m[f_1] + m[f_2] 及 M[f_1 + f_2] ≤ M[f_1] + M[f_2] $$ 举出函数\(f_1(x)\)和\(f_2(x)\)的例子，使上述两个关系式为：(1)等式；(2)不等式。

证：因为\(m[f_1] ≤ f_1(x) ≤ M[f_1]，m[f_2] ≤ f_2(x) ≤ M[f_2]\)，所以有\(m[f_1] + m[f_2] ≤ f_1(x) + f_2(x) ≤ M[f_1] + M[f_2]\)。

所以\(m[f_1 + f_2] ≥ m[f_1] + m[f_2] 并且 M[f_1 + f_2] ≤ M[f_1] + M[f_2]\)。

(1)设，\(f_1(x) = x, f_2(x) = 2x\)，在区间\((0, 1)\)上有定义。有\(m[f_1] = 0, m[f_2] = 0, M[f_1] = 1, M[f_2] = 2\)。

则\(m[f_1 + f_2] = m[f_1] + m[f_2] = 0\)，\(M[f_1 + f_2] = M[f_1] + M[f_2] = 3\)。

(2)设，\(f_1(x) = -x, f_2(x) = x\)，在区间\((-1, 1)\)上有定义。有\(m[f_1] = m[f_2] = -1, M[f_1] = M[f_2] = 2\)。

而\(m[f_1 + f_2] = 0 > m[f_1] + m[f_2]\)，\(M[f_1 + f_2] = 0 < M[f_1] + M[f_2]\)。

【400】设函数\(f(x)\)定义于域\([a, +\infty)\)内，并且在每一个闭区间\([a,b]\)上是有界的，令 $$ m(x) = \underset{a ≤ \varepsilon ≤ x}{\inf}{f(\varepsilon)}，M(x) = \underset{a ≤ \varepsilon ≤ x}{\sup}{f(\varepsilon)} $$ 作函数\(y = m(x)\)和\(y = M(x)\)的图像，设：(1) \(f(x) = \sin x\)；(2) \(f(x) = \cos x\)。

图400(a). \(f(x) = \sin x\)	图400(b). \(f(x) = \cos x\)