列紧性原理和聚点

对于数列$\{x_n\}$中如果某一项$x_{\beta}$大于其后所有项，则将其用符号$\beta$表示。 (a). 如果数列$\{x_n\}$中存在无穷个$\beta$项，那么把这些项依次取出构成一个子列，则一定是一个单调递减的数列。 (b). 如果$\{x_n\}$中存在有限个$\beta$项，那么从最后一个$\beta$项的后一项$x_{\gamma_1}$开始，一定存在一个$x_{\gamma_2} > x_{\gamma_1}$，并且$x_{\gamma_2}$不是$\beta$项，同理可以选出$x_{\gamma_3} > x_{\gamma_2}$。如此持续下去，我们就得到了一个单调递增的数列。综合(a)、(b)的结论，得出从任何数列中都可以选出一个单调的子列。

对于一个有界的数列$\{x_n\}$，我们一定可以选出一个单调的子列。根据单调有界的数列一定收敛这一定理，可知该子列一定收敛。因此，任何有界的数列中一定存在至少一个收敛的子列。这就是Bolzano-Weierstrass定理，也称为列紧性定理，它是实数连续性的一种体现。

我们把数列中收敛子列的极限称为该数列的聚点。列紧性定理又可以表述为任何有界的数列中至少存在一个聚点。如果数列只存在一个聚点，那么该聚点就是数列的极限。对于数列$\{x_n\}$我们将其聚点的集合$E$描述为： $$ E = \{l \in \mathbb{R} | x_n中存在子列x_{k_n} \to l, n \to \infty \} $$ 记$E$的上确界和下确界$x^* = \sup{E}, x_* = \inf{E}$分别为$\{x_n\}$的上极限和下极限。

有时$E$是一个无穷集合，那么$x^*,x_*$是$E$的元素吗？从定义上来看，只要数列$\{x_n\}$存在子列收敛于$x^*,x_*$，那么他们就是$E$的元素。常庚哲等人[1]记录了如下的定理：

设$\{x_n\}$为一数列，$E$为其聚点的集合，$x^*$为其上极限，那么：

$x^* \in E$
若$x > x^*$，则存在$N \in N^*$使得凡是$n ≥N$时便有$x_n < x$
$x^*$是满足上述性质的唯一的数

类似的，对于下极限我们可以得到如下的性质：

设$\{x_n\}$为一数列，$E$为其聚点的集合，$x_*$为其下极限，那么：

$x_* \in E$
若$x < x_*$，则存在$N \in N^*$使得凡是$n ≥N$时便有$x_n > x$
$x_*$是满足上述性质的唯一的数

以上性质说明，数列$x_n$的上极限和下极限就是其所有收敛子列极限的最大值和最小值，虽然一个数列可能没有极限，但其上极限和下极限一定存在。

【101】求数列$x_n = 1 - \frac{1}{n}$的$\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_$

解：显然$\lim_{n \to \infty}(1 - \frac{1}{n}) = 1$并且$x_n$是单调递减的，所以其上确界和上极限为1，下确界和下极限为0。

【102】求数列$x_n = \frac{(-1)^n}{n} + \frac{1+(-1)^n}{2}, n=1,2,\cdots$的$\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_$

解：其上确界为$\frac{3}{2}$，下确界$-1$，上极限为1，下极限为0。

【103】求数列$x_n = 1 + \frac{n}{n+1}\cos{\frac{n\pi}{2}}, n=1,2,\cdots$的$\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_$

解：其上确界和上极限为$2$，下确界和下极限$0$

【104】求数列$x_n = 1 + 2(-1)^{n+1} + 3(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}, n=1,2,\cdots$的$\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_$

解：$x_n$可能的取值只有4个：$(1+2+3), (1+2-3), (1-2+3), (1-2-3)$，所以其上确界和上极限为$6$，下确界和下极限$-4$

【105】求数列$x_n = \frac{n-1}{n+1}\cos{\frac{2n\pi}{3}}, n=1,2,\cdots$的$\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_$

解：因为$\cos{\frac{2n\pi}{3}}$只有两种取值1，$-\frac{1}{2}$，所以其上确界是1，下确界是$-\frac{1}{2}$，上极限是1，下极限$-\frac{1}{2}$。

【106】求数列$x_n = (-1)^nn, n=1,2,\cdots$的$\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_$

解：上确界和上极限都是$+\infty$，下确界和下极限都是$-\infty$。

【107】求数列$x_n = (-n)[2 + (-1)^n], n=1,2,\cdots$的$\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_$

解：上确界是-1，下确界、上极限、下极限都是$-\infty$。

【109】求数列$x_n = 1 + n\sin{\frac{n\pi}{2}}, n=1,2,\cdots$的$\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_$

解：$\sin{\frac{n\pi}{2}}$只有三个值0,1,-1，所以其上确界为$+\infty$下确界为$-\infty$，上极限为$+\infty$下极限为$-\infty$

【110】求数列$x_n = \frac{1}{n-10.2}, n=1,2,\cdots$的$\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_$

解：上确界为1.25，下确界为-5，上极限和下极限都为0

【123】举出数列的例子：(1)没有有限的聚点，(2)有唯一有限的聚点，但不收敛，(3)有无限多的聚点，(4)以每一实数作为聚点。

解：(1)数列$x_n=(-1)^nn$有两个聚点$-\infty$和$+\infty$都不是有限的。

(2)数列$1, 1, 2, 1, 3, 1, \cdots, n, 1, \cdots$有两个聚点1和$+\infty$，而且不收敛。

(3)数列$0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \cdots$，可以证明该数列包含区间[0,1]内所有的有理数。所以区间中的所有有理数都是该数列的聚点。

(4)不知道

【131】证明：(1)$x_* + y_* ≤ (x+y)_* ≤ x_* + y^$ (2)$x_ + y^* ≤ (x + y)^* ≤ x^* + y^*$

证：(1). 因为数列的下极限是一定存在的，那么根据下极限的定义，对于数列$x_n$我们可以找到一个子列$\lim_{n\to\infty}x_{k_n} = \alpha = x_*$。
同样的道理，对于数列$y_n$我们也可以找到一个子列收敛于其上极限，即$\lim_{n\to\infty}y_{k_n} = \beta = y^*$。
显然，$\{x_{k_n} + y_{k_n}\}$是数列$\{x_n+y_n\}$的一个子列，$\alpha + \beta$是其一个聚点，因此有$(x+y)_* ≤ \alpha + \beta = x_* + y^*$。
设$(x+y)_* = \gamma$，那么一定存在一个子列$x_{k_n}+y_{l_n}$收敛于$\gamma$，其中数列$x_{k_n}$为收敛到$\{x_n\}$下极限的子列，而数列$y_{l_n}$是$\{y_n\}$的一个子列。
我们有，$\lim_{n\to\infty}y_{l_n} = (x+y)_* - x_* ≥ y_* \Rightarrow (x+y)_* ≥ x_* + y_*$

(2). 同理可证，略。

列紧性原理和聚点

【101】求数列\(x_n = 1 - \frac{1}{n}\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【102】求数列\(x_n = \frac{(-1)^n}{n} + \frac{1+(-1)^n}{2}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【103】求数列\(x_n = 1 + \frac{n}{n+1}\cos{\frac{n\pi}{2}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【104】求数列\(x_n = 1 + 2(-1)^{n+1} + 3(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【105】求数列\(x_n = \frac{n-1}{n+1}\cos{\frac{2n\pi}{3}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【106】求数列\(x_n = (-1)^nn, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【107】求数列\(x_n = (-n)[2 + (-1)^n], n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【109】求数列\(x_n = 1 + n\sin{\frac{n\pi}{2}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【110】求数列\(x_n = \frac{1}{n-10.2}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【123】举出数列的例子：(1)没有有限的聚点，(2)有唯一有限的聚点，但不收敛，(3)有无限多的聚点，(4)以每一实数作为聚点。

【131】证明：(1)\(x_* + y_* ≤ (x+y)_* ≤ x_* + y^\) (2)\(x_ + y^* ≤ (x + y)^* ≤ x^* + y^*\)

【132】～【136】都是关于上下极限的一些性质证明，暂略。

【137】是一个通过证明上下极限相等或者唯一聚点的方法证明数列收敛的例子，暂略。

列紧性原理和聚点

【101】求数列\(x_n = 1 - \frac{1}{n}\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^*, x_*\)

【102】求数列\(x_n = \frac{(-1)^n}{n} + \frac{1+(-1)^n}{2}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^*, x_*\)

【103】求数列\(x_n = 1 + \frac{n}{n+1}\cos{\frac{n\pi}{2}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^*, x_*\)

【104】求数列\(x_n = 1 + 2(-1)^{n+1} + 3(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^*, x_*\)

【105】求数列\(x_n = \frac{n-1}{n+1}\cos{\frac{2n\pi}{3}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^*, x_*\)

【106】求数列\(x_n = (-1)^nn, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^*, x_*\)

【107】求数列\(x_n = (-n)[2 + (-1)^n], n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^*, x_*\)

【109】求数列\(x_n = 1 + n\sin{\frac{n\pi}{2}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^*, x_*\)

【110】求数列\(x_n = \frac{1}{n-10.2}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^*, x_*\)

【123】举出数列的例子：(1)没有有限的聚点，(2)有唯一有限的聚点，但不收敛，(3)有无限多的聚点，(4)以每一实数作为聚点。

【131】证明：(1)\(x_* + y_* ≤ (x+y)_* ≤ x_* + y^*\) (2)\(x_* + y^* ≤ (x + y)^* ≤ x^* + y^*\)

【132】～【136】都是关于上下极限的一些性质证明，暂略。

【137】是一个通过证明上下极限相等或者唯一聚点的方法证明数列收敛的例子，暂略。

【101】求数列\(x_n = 1 - \frac{1}{n}\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【102】求数列\(x_n = \frac{(-1)^n}{n} + \frac{1+(-1)^n}{2}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【103】求数列\(x_n = 1 + \frac{n}{n+1}\cos{\frac{n\pi}{2}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【104】求数列\(x_n = 1 + 2(-1)^{n+1} + 3(-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【105】求数列\(x_n = \frac{n-1}{n+1}\cos{\frac{2n\pi}{3}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【106】求数列\(x_n = (-1)^nn, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【107】求数列\(x_n = (-n)[2 + (-1)^n], n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【109】求数列\(x_n = 1 + n\sin{\frac{n\pi}{2}}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【110】求数列\(x_n = \frac{1}{n-10.2}, n=1,2,\cdots\)的\(\sup{\{x_n\}}, \inf{\{x_n\}}, x^, x_\)

【131】证明：(1)\(x_* + y_* ≤ (x+y)_* ≤ x_* + y^\) (2)\(x_ + y^* ≤ (x + y)^* ≤ x^* + y^*\)