实数与数轴

上中学的时候就学过实数和数轴，映像中是没有明确给出实数的定义的，只是说实数与数轴上的点是一一对应的，包涵了所有的有理数和无理数。 数轴则是实数的一种几何形式的描述，可以形象的描述一些运算。

对于空间中的一条水平的直线，我们从中任选一点记为\(O\)称之为原点，在原点的右侧再任选一点记为\(I\)，就得到了一个数轴。 从\(O\)点向\(I\)点延伸的方向记为数轴的正方向，\(I\)到\(O\)之间的距离称为单位长度，原点右侧的数都是正数， 左侧的数都是负数。因为实数与数轴上的点之间是一一映射的，所以很多时候我们把数轴上的点和与之对应的数等同起来，不加以区分。

实数还可以用无限小数来表示。所有的小数根据小数的位数是否有限可以分为有限小数和无限小数，但有限小数可以看做是无限小数的一种特例。 因为对于任意一个有限小数，我们都可以在其最后一位小数之后添加任意多的零而不改变小数的大小，所以有限小数可以看做是末尾有无限个零的无限小数。 对于无限小数我们经常能够见到小数点后若干位以后的数字总是重复出现，比如说\(2.456456456\cdots, 3.33333\cdots, 1.5000000\cdots\)，这类小数被称为无限循环小数。 实际上它们就是所谓的有理数。而所有的无限不循环小数则被称为无理数。

对于任意两个实数\(a,b\)，我们将其在数轴上表示出来，如果\(a\)在\(b\)的左侧，那么有\(a < b\)，如果\(a,b\)对应同一个点，那么有\(a = b\)， 如果\(a\)在\(b\)的右侧，那么有\(a > b\)。不妨设\(a < b\)，数轴上\(a\)与\(b\)之间的所有点的集合就构成了区间，如果不考虑\(a,b\)两点，得到的则是一个开区间， 用符号\((a,b)\)表示。如果考虑\(a,b\)中的一点，得到的则是一个半开半闭的区间，分别用符号\((a,b]，和[a,b)\)表示。如果同时考虑\(a,b\)两点， 得到的则是一个闭区间，记为\([a,b]\)。

整数则是数轴上从原点出发，经过若干个单位长度到达能够到达的数。它们把数轴分成了无数个半开半闭的的区间，而且各个区间之间不存在交集。 对于整数\(n\)，所划分的区间为\([n,n+1)\)。对于任意一个小数\(a = a_0.a_1a_2\cdots\)，其中\(a_0\)为其整数部分，\(a_1,a_2,\cdots\)为其小数部分各位取值为\(0,1,\cdots,8,9\)， 它一定唯一地属于区间\([a_0,a_0+1)\)。如果我们对区间\([a_0,a_0+1)\)十等分，就得到了十个更小的区间\([a_0.0, a_0.1), [a_0.1, a_0.2),\cdots, [a_0.9, a_0+1.0)\)， \(a\)一定属于区间\([a_0.a_1, a_0.a_1 + 0.1)\)，我们还可以对这个区间做类似的细分，如此操作下去就可以把任意一个小数对应到数轴的一个点上。 当然，这个结论是建立在实数的连续性基础之上的。

对于实数系统的连续性，有六条定理予以描述，它们是等价的描述，从任何一个定理出发都可以推出其他的定理。