拉普拉斯变换

设函数$f(t)$在$t≥0$上有定义，若对于复参数$s = \beta + i\omega$积分，有 $$ F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st}\mathrm{d}t $$ 在复平面$s$的某一域内收敛，则称$F(s)$为$f(t)$的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记为 $$ F(s) = \mathcal{L}[f(t)] $$ 相应的称$f(t)$为$F(s)$的拉普拉斯逆变换，简称拉式逆变换，记为 $$ f(t) = \mathcal{L}^{-1}[F(s)] $$ 有时也称$F(s)$和$f(t)$分别为像函数和像原函数。

本质上，拉普拉斯变换是函数$f(t)u(t)e^{-\beta t}$的傅里叶变换，其中$u(t)$为阶跃响应函数： $$ u(t) = \begin{cases} 1 & t ≥ 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases} $$

从这里，我们可以了解到，一个函数除了需要满足狄利克雷条件之外，还要在$(-\infty, +\infty)$上绝对可积，才可以进行古典意义下的傅里叶变换。引入δ-函数，傅里叶变换的适用范围拓宽了，但对某些函数，例如指数级增长的函数仍无能为力。另外，在工程上许多时间相关的函数在$t < 0$时是没有意义的。而进行傅里叶变换的函数在整个实数轴上都需要有定义的。

能否对任意一个函数$\varphi(t)$进行适当的改造，使其满足古典的傅里叶变换呢？

首先，将函数$\varphi(t)$乘以单位阶跃函数$u(t)$，得到$t < 0$时取值为0的函数。针对$\varphi(t)$不可积的问题，考虑指数衰减函数$e^{-\beta t}, \beta > 0$，在$t \to +\infty$时衰减的很快，所以将之乘以$\varphi(t)u(t)$，这就有可能使函数$f(t)u(t)e^{-\beta t}$满足傅里叶积分定理的条件，对其进行傅里叶变换就是上面所说的拉普拉斯变换。

虽然拉氏变换比傅里叶变换的条件要宽松很多，但它也还是有条件的。拉氏变换存在定理描述了一个函数存在拉氏变换的充分条件：

设函数$f(t)$满足：

在$t ≥ 0$的任一有限区间上分段连续；
当$t \to +\infty$时，$f(t)$的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数$M > 0$及$c ≥ 0$，使得 $$ \left | f(t) \right | ≤ Me^{at}, (0 ≤ t < +\infty) $$ 成立(其中，$c$称为$f(t)$的增长指数)。

则$f(t)$的拉氏变换$F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st} \mathrm{d}t$在半平面$\mathbf{Re}(s) > c$上一定存在，且是解析的。

例1. 求$e^{at}$($a$为复常数)的拉氏变换。

解：有$F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{at}e^{-st}\mathrm{d}x = \frac{1}{a-s}e^{(a-s)t}\vert_{0}^{+\infty}$。

不妨设$a = a_1 + ia_2, s = \beta + i\omega$，则有$(a-s)t = (a_1 - \beta)t + i(a_2 - \omega)t$，若$\beta > a_1$，则$t \to +\infty$时，有$e^(a-s)t \to 0$。

所以当$\mathbf{Re}(s) > \mathbf{Re}(a)$时，有$F(s) = \frac{1}{s-a}$。

特别的，若$a=0$，有$\mathcal{L}(1) = \frac{1}{s}, \mathbf{Re}(s) > 0$。

拉普拉斯变换

例1. 求\(e^{at}\)(\(a\)为复常数)的拉氏变换。