无穷小和无穷大

设\(x_0\)是一个实数，函数\(f(x)\)在\(x_0\)的去心邻域内有定义。如果对于任意的正数\(A\)，存在\(\delta > 0\)，使得\(0 < | x - x_0 | < \delta\)时，有\(|f(x)| > A\)总成立。则称\(x \to x_0\)时函数\(f(x)\)趋向于无穷大，记作\(\underset{x \to x_0}{\lim} f(x) = \infty\)。相应的，若\(\underset{x \to x_0}{\lim} f(x) = 0\)，则称\(x \to x_0\)时函数\(f(x)\)是一个无穷小量。而且，无穷大的倒数是无穷小，不取零的无穷小量的倒数是无穷大。

如果\(x \to x_0\)时函数\(f(x)\)与\(g(x)\)都是无穷小量，并且\(g(x)\)在\(x_0\)的去心邻域内不为零，那么我们可以比较两个无穷小量：

如果\(\underset{x \to x_0}{\lim} \cfrac{f(x)}{g(x)} = 0\)，那么称\(f\)是比\(g\)更高阶的无穷小;
如果\(\underset{x \to x_0}{\lim} \cfrac{f(x)}{g(x)} = l \neq 0\)，那么称\(f\)与\(g\)是同阶的无穷小;
如果\(\underset{x \to x_0}{\lim} \cfrac{f(x)}{g(x)} = l = 1\)，那么称\(f\)与\(g\)是等价的无穷小。

一般我们认为\(x \to x_0\)时，\(x - x_0\)是一阶无穷小。如果\(x \to x_0\)时，\(f(x)\)与\((x - x_0)^{\alpha}\)是同阶无穷小时，称\(f(x)\)为\(\alpha\)阶无穷小。

类似的，如果\(x \to x_0\)时函数\(f(x)\)与\(g(x)\)都是无穷大，那么我们可以通过如下的方式比较两个无穷大：

如果\(\underset{x \to x_0}{\lim} \cfrac{f(x)}{g(x)} = 0\)，那么称\(g\)是比\(f\)更高阶的无穷大;
如果\(\underset{x \to x_0}{\lim} \cfrac{f(x)}{g(x)} = l \neq 0\)，那么称\(g\)与\(f\)是同阶的无穷大;
如果\(\underset{x \to x_0}{\lim} \cfrac{f(x)}{g(x)} = l = 1\)，那么称\(g\)与\(f\)是等价的无穷大。

如果\(f(x)\)是比\(g(x)\)更高阶的无穷小量，则记作\(f(x) = o(g(x))\)。很容易证明\(f(x)\)与\(f(x) + o(f(x))\)是等价的无穷小量。若\(f(x)\)与\(g(x)\)都是无穷大，如果\(f(x)\)的无穷大阶数不小于\(g(x)\)的阶数，那么记作\(f(x) = O(g(x))\)。在计算某个函数趋近于某点时的极限时，如果函数中以因子的形式出现了无穷小或者无穷大量，可以用与之等价的无穷小或无穷大替代，并不会影响极限。既不会影响极限的存在性，如果极限存在也不会改变极限值。

【564】证明：\(\underset{x \to +\infty}{\lim} \cfrac{x^n}{a^x} = 0, a > 1, n > 0\)

证：因为\(x > 0\)时，总存在一个正整数\(k = \left \lfloor x \right \rfloor, k \leq x \leq k + 1\)。所以，总有\(\cfrac{k^n}{a^{k+1}} \leq \cfrac{x^n}{a^x} \leq \cfrac{(k+1)^n}{a^k}\)。

根据【60】的结论，当\(a > 1, n > 0\)时，有\(\underset{k \to +\infty}{\lim} \cfrac{k^n}{a^{k+1}} = \cfrac{1}{a}\underset{k \to +\infty}{\lim} \cfrac{k^n}{a^k} = 0\)，\(\underset{k \to +\infty}{\lim} \cfrac{(k+1)^n}{a^k} = a\underset{k \to +\infty}{\lim} \cfrac{(k + 1)^n}{a^{k + 1}} = 0\)

根据夹逼原理，有\(\underset{x \to +\infty}{\lim} \cfrac{x^n}{a^x} = 0, a > 1, n > 0\)。

【565】证明：\(\underset{x \to +\infty}{\lim} \cfrac{\log_a x}{x^{\varepsilon}} = 0, a > 1, \varepsilon > 0\)

证：令\(y = \log_a x\)，则有\(x = a^y\)。所以\(\underset{x \to +\infty}{\lim} \cfrac{\log_a x}{x^{\varepsilon}} = \underset{y \to +\infty}{\lim} \cfrac{y}{(a^y)^{\varepsilon}} = \underset{y \to +\infty}{\lim} \left(\cfrac{y^{\frac{1}{\varepsilon}}}{a^y} \right)^{\varepsilon} = 0\)

【591】\(\underset{x \to 0}{\lim} \cfrac{1}{x^{100}}e^{-\frac{1}{x^2}}\)

解：令\(y = \cfrac{1}{x}\)，有\(\underset{x \to 0}{\lim} \cfrac{1}{x^{100}}e^{-\frac{1}{x^2}} = \underset{y \to \infty}{\lim} \cfrac{{y^2}^{50}}{e^{y^2}} = 0\)

【592】\(\underset{x \to +0}{\lim} x \ln x\)

解：令\(y = \cfrac{1}{x}\)，有\(\underset{x \to +0}{\lim} x \ln x = \underset{y \to +\infty}{\lim} \cfrac{-\ln y}{y} = 0\)

【645】把右图所示的圆心角\(AOB = x\)当作1阶无穷小量，求下列个无穷小量的阶： (1). 弦\(AB\); (2). 拱高\(CD\); (3). 扇形\(AOB\)的面积; (4). 三角形\(ABC\)的面积; (5). 梯形\(ABB_1A_1\)的面积; (6). 弓形\(ABC\)的面积。

解：记圆半径\(r = OA = OB = OC\)。

(1). 弦长\(AB = rx\)，显然\(\underset{x \to 0}{\lim} \cfrac{rx}{x} = r\)。故弦\(AB\)是1阶无穷小量。

(2). 拱高\(CD = OC - OD = r - r\cos \cfrac{x}{2} = r (1 - \cos \cfrac{x}{2}) = r(2\sin^2 \cfrac{x}{4})\)，所以拱高\(CD\)是二阶无穷小量。

(3). 扇形面积\(S_{AOB} = \cfrac{r^2}{2}x\)，所以扇形面积\(S_{AOB}\)是1阶无穷小量。

(4). 三角形面积\(S_{ABC} = \cfrac{1}{2} \bullet AB \bullet CD = r \sin \cfrac{x}{2} r(2\sin^2 \cfrac{x}{4})\)。