无穷极限

如果数列$\{a_n\}$满足条件“对于任意正数$A > 0$，都存在一个正整数$N \in N^*$，使得当$n > N$时，都有$a_n > A$”，我们称数列$\{a_n\}$趋向于正无穷，记为： $$ \begin{equation} \lim_{n \to \infty}a_n = +\infty \end{equation} $$ 类似的，若数列$\{a_n\}$满足条件“对于任意正数$A > 0$，都存在一个正整数$N \in N^*$，使得当$n > N$时，都有$a_n < -A$”，则称数列$\{a_n\}$趋向于负无穷，记为： $$ \begin{equation} \lim_{n \to \infty}a_n = -\infty \end{equation} $$ 参考绝对值的描述，若$\lim_{n \to \infty}|a_n| = +\infty$，则记为： $$ \begin{equation} \lim_{n \to \infty}a_n = \infty \end{equation} $$ 对于上述的三种情形，都称数列$\{a_n\}$为无穷大。参考数列极限的概念，我们也可以用符号语言来描述无穷大： $$ \forall A > 0, \exists N \in N^*, 使得 n > N 时,都满足|a_n| > A $$ 与数列极限不同的，这里的$\forall A > 0$强调的是任意大的正数。无穷大具有如下的性质：

若数列$\{a_n\}$为无穷大，则$\{a_n\}$必然无界。
从无界数列中一定能够选出一个子列无穷大。
数列$\{a_n\}$无穷大的充分必要条件是$\{\frac{1}{a_n}\}$无穷小。

【43】设：(1)$x_n=(-1)^nn$；(2)$x_n=2^{\sqrt{n}}$；(3)$x_n=\lg\left(\lg(n)\right)n ≥ 2$ 试证明，当$n\to\infty$时，有无穷极限。

证：(1)对任意正数$A > 0$，都存在一个正整数$N = \lceil A \rceil$，使得当$n > N$时，都有$|(-1)^nn| = n > A$成立，所以$x_n=(-1)^nn$为无穷大。

(2)对任意正数$A > 0$，都存在一个正整数$N = \lceil A \rceil$，使得当$n > N$时，都有$2^{\sqrt{n}} > n > A$成立，所以$x_n=2^{\sqrt{n}}$为无穷大。

(3)对任意正数$A > 0$，都存在一个正整数$N = \left\lceil 10^{10^A} \right\rceil$，使得当$n > N$时，都有$\lg\left(\lg(n)\right) > A$成立，所以$x_n=\lg\left(\lg(n)\right)n ≥ 2$为无穷大。

【44】求证：$x_n=n^{\left(-1\right)^n}$无界，但$n\to\infty$时不构成无穷大。

证：(1)当$n=2k$时，有$n^{\left(-1\right)^n} = 2k$，则子列$\{x_{2k}\}$为无穷大，所以$\{x_n\}$无界。

(2)当$n=2k+1$时，有$n^{\left(-1\right)^n} = \frac{1}{2k+1}$，则子列$\{x_{2k+1}\}$为无穷小，所以$\{x_n\}$不构成无穷大。

【45】用不等式表述下列命题：(1)$\lim_{n\to\infty}x_n=\infty$，(2)$\lim_{n\to\infty}x_n=-\infty$，(3)$\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty$

参考前面关于无穷极限的定义，略。

【126】证明：若数列$\{x_n\}$无界，则存在子数列$x_{p_n}$，使得$\lim_{n \to \infty}x_{p_n} = \infty$

证：因为$\{x_n\}$无界，所以对于$\{x_n\}$中的一个确定项$x_{p_1}$在$\{x_n\}$中都可以找到一个一项$|x_{p_2}| > |x_{p_1}|, p_2 > p_1$。同理，我们可以找到$x_{p_3}, x_{p_4}, \cdots$，所以一定存在子列$x_{p_n}$，使得$\lim_{n \to \infty}x_{p_n} = \infty$

【139】已知$a_n \to +\infty, n \to \infty$求证： $$ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \to +\infty, n \to \infty $$

证：因为，$\lim_{n \to \infty}a_n = +\infty$所以$\forall A > 0, \exists N \in N^*, 使得n > N时, a_n > A$。因此 $$\begin{align} \frac{|a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n|}{n} & > \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_N}{n} + \frac{n-N}{n}A \\ & > A - \frac{N}{n}A \end{align} $$ 而对于一个给定的$N$，我们总可以找到$N_1 > 2N$，当$n > N_1$时，有$\frac{|a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n|}{n} > A - \frac{N}{N_1}A > \frac{1}{2}A$。所以$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \to +\infty, n \to \infty$

无穷极限

【43】设：(1)\(x_n=(-1)^nn\)；(2)\(x_n=2^{\sqrt{n}}\)；(3)\(x_n=\lg\left(\lg(n)\right)n ≥ 2\) 试证明，当\(n\to\infty\)时，有无穷极限。

【44】求证：\(x_n=n^{\left(-1\right)^n}\)无界，但\(n\to\infty\)时不构成无穷大。

【45】用不等式表述下列命题：(1)\(\lim_{n\to\infty}x_n=\infty\)，(2)\(\lim_{n\to\infty}x_n=-\infty\)，(3)\(\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty\)

【126】证明：若数列\(\{x_n\}\)无界，则存在子数列\(x_{p_n}\)，使得\(\lim_{n \to \infty}x_{p_n} = \infty\)

【139】已知\(a_n \to +\infty, n \to \infty\)求证： $$ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \to +\infty, n \to \infty $$