有理数

所有的有理数都可以写成\(\cfrac{p}{q}\)的形式，其中\(p,q\)为互质的整数，且\(q \neq 0 \)。 这种用整数除法表示有理数的形式不能很好的反应有理数的大小，在不进行通分的情况下我们很难看出来谁大谁小。 实际上，我们知道两个整数相除可以得到一个小数，如果能够除尽得到的将是一个有限小数， 如果不能除尽将得到一个无限的循环小数。而对于有限小数，我们可以认为最后一位之后是对'0'的循环。 也就是说有理数是一种无限循环小数。 以后我们会介绍无理数是一种无限不循环的小数。

有理数集可以形成一个数域，也就是说对有理数进行加减乘除四则运算， 不能得到有理数之外的其它形式的数。

有理数可以很方便的在数轴上表示。(1)把数轴上的单位长度\(q\)等分，得到\(\cfrac{1}{q}\)的表示； (2)从原点开始的第\(p\)个\(\cfrac{1}{q}\)就是有理数\(\cfrac{p}{q}\)的表示。 实际上，我们知道数轴可以表示包括有理数在内的实数集，任何一个实数都可以由数轴上的一个点来表示。 因此，对于任意的实数\(x\)一定可以找到两个整数满足如下的关系： $$ \frac{p}{q} ≤ x < \frac{p+1}{q} $$ 等价于： $$ 0 ≤ x - \frac{p}{q} < \frac{1}{q} $$ 也就是说： $$ \left| x - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q} $$ 而分母\(q\)可以任意选取，我们可以选择一个尽可能大的整数\(q\)，这个整数要多大有多大，比你想象的还大。 那么\(\cfrac{1}{q}\)就接近为0，意味着\(x\)将无限的接近于一个有理数\(\cfrac{p}{q}\)。 这说明，有理数在数轴上是稠密的。

【1】设\(n \in N^*\)且\(n\)不是完全平方数，那么\(\sqrt{n}\)就不是有理数。

证：假若\(\sqrt{n}\)是有理数，那么它可以用两个正整数表示\(\sqrt{n} = \frac{p}{q}\)。 而且我们可以找到一个正整数\(m\)满足\(m < \frac{p}{q} < m+1\)。

故有：\(p^2 = nq^2, 0 < p - mq < q\)。

对上述等式\(p^2 = nq^2\)两边同时减去\(mpq\)得到： $$ \begin{align} p(p - mq) & = q(nq - mp) \\ \frac{p}{q} & = \frac{nq-mp}{p-mq} \end{align} $$ 令\(p_1 = nq - mp, q_1 = p-mq\)，容易证明\(p_1 < p, q_1 < q\)。 我们对\(p_1,q_1\)重复上述讨论可以得到如下的等式关系： $$ \frac{p}{q} = \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2}{q_2} = \ldots = \frac{p_n}{q_n} $$ 其中有两个递减的序列：\(p < p_1 < p_2 < \ldots < p_n\)和\(q < q_1 < q_2 < \ldots < q_n\)
由于它们都是正整数，所以这两个序列不会一直递减下去的。所以假设不成立，\(\sqrt{n}\)不是有理数。口

【2】设\(a\)是有理数，\(b\)为无理数，求证a+b和a-b都是无理数。 当\(a \neq 0\)时，\(ab\)与\(\frac{b}{a}\)也是无理数。

证：因为\(a\)为有理数，可以写成两个整数相除的形式\(\frac{p_1}{q_1}\)。
如果\(a+b\)也是有理数，那么也可以写成两个整数相除的形式\(\frac{p_2}{q_2}\)。
那么\(b=\frac{p_1q_2 - p_2q_1}{q_1q_2}\)，也就是说\(b\)也可以写成两个整数相除的形式， 与\(b\)是无理数矛盾。
同理可以证明\(a-b\)为无理数，当\(a \neq 0\)时，\(ab, \frac{b}{a}\)都是无理数。