绝对值

若\(x\)为实数，则用下列条件所确定的非负数\(|x|\)，称为\(x\)的绝对值。 $$ \begin{equation} |x| = \begin{cases} -x, & x < 0 \\ x, & x ≥ 0 \end{cases} \end{equation} $$

绝对值指的是实数\(x\)到原点的距离。点\(x\)和点\(y\)之间的距离可以表示为\(|x-y|\)。 因此，以\(a,b\)为端点的开区间或者闭区间的长度为\(|a-b|\)。

对于任何实数\(x\)与\(y\)，我们有： $$ \begin{equation} -|x| ≤ x ≤ |x|, -|y| ≤ y ≤ |y| \end{equation} $$ 把这两个不等式相加得到： $$ \begin{equation} -(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y| \end{equation} $$ 这等价于： $$ \begin{equation} \label{f1} |x+y| ≤ |x| + |y| \end{equation} $$ 式(\(\ref{f1}\))也被称为三角不等式。显然，当\(x\)与\(y\)中至少一个为0或者两者同号时，其中的等号成立。 此外，当两者异号时，有如下等式成立： $$ \begin{equation} |x+y| = |x| - |y|, (xy < 0) \end{equation} $$ 因此，有时也把三角不等式扩展成如下的形式： $$ \begin{equation} \label{f2} |x|-|y| ≤ |x+y| ≤ |x| + |y| \end{equation} $$

【21】求证不等式：(1)\(|x-y|≥\left| |x| - |y| \right|\)，(2)\(|x+x_1+...+x_n|≥|x|-(|x_1| + ... + |x_n|)\)

证：(1)根据绝对值的定义式，我们有\(|x|-|y| = |x| - |-y|\)和\(|x-y| = |y-x|\)。 根据式(\(\ref{f2}\))，有\(|x|-|-y| ≤ |x + (-y)| = |x-y|\)，这等价于\(|x|-|y|≤|x-y|\)； 又因为\(|y-x| ≥ |y|-|-x| = -(|x|-|y|)\)，等价于\(-(|x|-|y|)≤|x-y|\)。 所以，\(|x-y| ≥ \left||x|-|y|\right|\)。

(2)根据式(\(\ref{f2}\))，有\(|x+x_1+...+x_n| ≥ |x| - |x_1+...+x_n|\)，而\(|x_1+...+x_n| ≤ |x_1| + ...+|x_n|\)。 所以，\(|x+x_1+...+x_n| ≥|x| - (|x_1| + ... + |x_n|)\)。

【22】解不等式：\(|x+1|<0.01\)

解：\(|x+1| < 0.01 \Rightarrow -0.01 < x + 1 < 0.01 \Rightarrow -1.01 < x < -0.09\)

【23】解不等式：\(|x-2|≥10\)

解：\(|x-2| ≥ 10 \Rightarrow x - 2 ≥ 10 或者 x -2 ≤ -10 \Rightarrow x ≥ 12 或者 x ≤ -8\)

【24】解不等式：\(|x| > |x+1|\)

解：根据绝对值的几何意义，\(|x| > |x+1|\)的解为到0的距离比到-1的距离大的所有点的集合。 所以，\(x < -\frac{1}{2}\)。

解：\(|x| > |x+1| \Rightarrow x^2 > (x+1)^2 \Rightarrow x^2 > x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x < -\frac{1}{2}\)。

【25】解不等式：\(|2x-1| < |x-1|\)

解：\(|2x-1|<|x-1| \Rightarrow 4x^2 -4x + 1 < x^2 -2x + 1 \Rightarrow 3x^2 -2x < 0\)

\(\Rightarrow x(3x - 2) < 0 \Rightarrow x > 0 且 3x-2<0 \Rightarrow 0 < x < \frac{2}{3}\)

【26】解不等式：\(|x+2|+|x-2|≤12\)

解：\(|x+2|+|x-2|≤12 \Rightarrow (x^2 + 4x + 4) + 2|(x+2)(x-2)| + (x^2-4x+4) ≤ 12^2 \)
\(\Rightarrow 2x^2+8+|2x^2-8| ≤ 12^2 \Rightarrow 4x^2 ≤ 12^2 或 16 ≤ 12^2 \Rightarrow -6 ≤ x ≤ 6\)

【27】解不等式：\(|x+2|-|x| > 1\)

解：\(|x+2|-|x| > 1 \Rightarrow |x+2| > |x| + 1 \Rightarrow x^2 + 4x + 4 > x^2 + 2|x| + 1\)
\(\Rightarrow 4x + 3 > 2x, x ≥ 0 或 4x + 3 > -2x, x < 0\)
\(\Rightarrow x > -\frac{3}{2}, x ≥ 0 或 x > -\frac{1}{2}, x < 0 \Rightarrow -\frac{1}{2} < x\)

【28】解不等式：\(||x+1|-|x-1|| < 1\)

解：\(||x+1| - |x-1|| < 1 \Rightarrow \left(|x+1| - |x-1|\right)^2 < 1 \Rightarrow \left(x^2 + 2x + 1 - 2|(x+1)(x-1)| + x^2 -2x + 1 \right) < 1\)
\(2(x^2+1) - 2|x^2 - 1| < 1 \Rightarrow x^2 + 1 - (x^2 - 1) < \frac{1}{2},x^2 > 1或 x^2 + 1 + x^2 - 1 < \frac{1}{2}, x^2 < 1\)
\(\Rightarrow x^2 < \frac{1}{4} \Rightarrow -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}\)。

【29】解不等式：\(|x(1-x)|<0.05\)

解：\(|x(1-x)| < 0.05 \Rightarrow -0.05 < x - x^2 < 0.05\)

同时满足如下两个不等式就可以是上述不等式成立： $$ \begin{cases} x^2 - x + 0.05 > 0 \Rightarrow \left(x - \frac{5 + 2\sqrt{5}}{10}\right)\left(x - \frac{5 - 2\sqrt{5}}{10}\right) > 0 \\ x^2 - x - 0.05 < 0 \Rightarrow \left(x - \frac{5-\sqrt{30}}{10}\right)\left(x - \frac{5+\sqrt{30}}{10}\right) < 0 \end{cases} $$ 解之得： $$ \begin{cases} x > \frac{5 + 2\sqrt{5}}{10} 或 x < \frac{5 - 2\sqrt{5}}{10} \\ \frac{5-\sqrt{30}}{10} < x < \frac{5+\sqrt{30}}{10} \end{cases} $$

【30】证明恒等式：\(\left(\frac{x + |x|}{2}\right)^2 + \left(\frac{x - |x|}{2}\right)^2 = x^2\)

证：\(\left(\frac{x + |x|}{2}\right)^2 + \left(\frac{x - |x|}{2}\right)^2 = \frac{x^2 + 2x|x| + x^2}{4} + \frac{x^2 - 2x|x| + x^2}{4} = x^2\)