绝对误差和相对误差

设\(a\neq0\)是被测量的精确数值，而\(x\)是这个量的近似值，则 $$ \begin{equation} \Delta = |x - a| \end{equation} $$ 被称为测量的绝对误差，而 $$ \begin{equation} \label{f2} \delta = \frac{\Delta}{|a|} \end{equation} $$ 被称为测量的相对误差。

若数\(x\)的绝对误差不超过它的第\(n\)个有效数字所对应的位数的单位的一半， 则说\(x\)有\(n\)位精确的数字。

【31】当测量长度10cm时，绝对误差为0.5mm;当测量距离500km时，绝对误差等于200m。 哪种测量较精确？

解：根据式(\(\ref{f2}\))相对误差的定义，我们可以计算前者的相对误差为： $$ \delta_1 = \frac{0.5mm}{10cm} = 0.5\% $$ 后者的相对误差为： $$ \delta_2 = \frac{200m}{500km} = 0.04\% $$ 所以后者的相对误差较小，更精确。

【32】设数\(x=2.3752\)的相对误差为1%，试求此数包含若干位精确数字？

解：此数的绝对误差为\(\Delta = 2.375 \times 0.01 = 0.02375\)，所以有两位精确数字。

【33】数\(x=12.125\)包含三位精确数字，试求此数的相对误差？

解：因为包含三位精确数字，所以其绝对误差满足\(0.005 < \Delta ≤ 0.05\)， 因此相对误差满足\(\frac{0.005}{12.125} < \delta ≤ \frac{0.05}{12.125}\)，即\(0.04\% < \delta ≤ 0.4\%\)

【34】矩形的边长等于： $$ x = 2.50cm ± 0.01cm, y = 4.00cm ± 0.02cm $$ 这个矩形的面积\(S\)界于什么范围内？当期边长取平均值时，矩形的面积的绝对误差\(\Delta\)和相对误差\(\delta\)是多少？

解：其最小值为：\( S_{min} = 2.49 \times 3.98 cm^2 = 9.9102 cm^2 \) 最大值为：\( S_{max} = 2.51 \times 4.02 cm^2 = 10.0902 cm^2 \)
测得面积为：\(S = 2.50 * 4.00 cm^2 = 10 cm^2\) 令\(\Delta_1 = S - S_{min} = 0.0898, \Delta_2 = S_{max} - S = 0.0902\)
所以实际绝对误差满足\(\Delta < \max\{\Delta_1, \Delta_2\} = 0.0902\) 相对误差满足\(\delta < \frac{0.0902}{10} = 0.91\%\)。

【35】物体的质量\(P=12.59g±0.01g\)，其体积\(V=3.2cm^3±0.2cm^3\)。若对物体的质量和题解都取其平均值， 试求物体的密度，并估计密度的绝对误差和相对误差。

解：密度\(C=\frac{12.59}{3.2}=3.9343g/cm^3\)。
\(C_{max} = \frac{12.60}{3.0} = 4.2 g/cm^3，C_{min}=\frac{12.58}{3.4} = 3.7 g/cm^3\)
\(\Delta_1 = C_{max} - C = 0.2657,\Delta_2 = C - C_{min} = 0.2343\)
所以其绝对误差为\(\Delta ≤ 0.2657\)相对误差\(\delta < 0.68\%\)

在《吉米多维奇》中相对误差计算为\(\delta ≤ 0.2657 / 3.7 < 7.3\%\) 不解的是为什么要除以3.7而不是3.9343

【36】圆半径\(r=7.2m±0.1m\)。若取\(\pi = 3.14\)，则求出的圆面积和最小相对误差是多少？

解：圆面积\(S=\pi r^2 = 162.7776 m^2, S_{max}=167.3306m^2, S_{min}=157.2874m^2\)
那么\(\Delta_1=S_{max}-S=4.5530, \Delta_2 = S - S_{min} = 4.4902, \Delta ≤ \max\{\Delta_1, \Delta_2\} = 4.5530\)
有相对误差\(\delta ≤ \frac{4.5530}{162.7776} < 2.8\%\)

【37】已测长方体各边长为\(x = 24.7m±0.2m; y=6.5m±0.1m; z=1.2m±0.1m\)。 此长方体体积\(V\)界于什么范围？若测量的各结果都取其平均值，则所求的体积可能有的绝对误差和相对误差是多少？

解：体积\(V_{max} = 24.9 * 6.6 * 1.3 = 213.6420m^3, V_{min}=172.4800m^3, V=192.6600m^3\)
那么误差\(\Delta_1 = V_{max}- V = 20.9820, \Delta_2 = V - V_{min}=20.18, \Delta ≤ \max\{\Delta_1, \Delta_2\} = 20.982\)
有相对误差\(\delta = \frac{20.982}{192.6600}=10.89\%\)

和【35】类似的问题为什么《吉米多维奇》的相对误差参考172.48而不是192.66？

【38】测量正方形的边长\(2m < x < 3m\)，应有多小的绝对误差，才能使正方形的面积有可能精确到\(0.001m^2\)?

解：有误差关系：\(0 ≤ x^2 - 4 ≤ 0.001, 0≤9-x^2≤0.001\)。
解不等式得：\(2 ≤ x ≤ 2.00024或2.99983 ≤x≤3\)。
取其误差较小者，\(\Delta ≤ 0.00017m\)即可。

【39】假定矩形每边的长皆不超过10m，为了使根据测量所计算出来的面积与原面积之差不超过0.01m^2， 问测量矩形的边\(x,y\)时，许可的绝对误差\(\Delta\)的值多大？

解：有\(\left(x+\Delta\right)\left(y+\Delta\right) - xy ≤0.01\)， 即\(\Delta^2 + \Delta(x+y) ≤ 0.01\)
各边均不超过10m，有\(\Delta^2 + \Delta(x+y) ≤ \Delta^2 + 20\Delta ≤ 0.01\)
解之得：\(\Delta ≤ \frac{-20+\sqrt{20^2-0.04}}{2}\)=0.000499

【40】设\(\delta(x),\delta(y)\)为数\(x,y\)的相对误差，\(\delta(xy)\)为\(xy\)的相对误差。求证： \(\delta(xy) ≤ \delta(x) + \delta(y) + \delta(x)\delta(y)\)

解：设\(x,y\)的精确数为\(a,b\)，那么\(x = a + \Delta_x, y = b + \Delta_y\)
所以\(xy - ab = \Delta_y a + \Delta_x b + \Delta_x \Delta_y\)，即\(\Delta_{xy} ≤ \Delta_y a + \Delta_x b + \Delta_x \Delta_y\)
由此得到相对误差\(\delta(xy) ≤ \frac{\Delta_{xy}}{ab} = \delta_y + \delta_x + \delta_x \delta_y\)