Cauchy收敛原理和基本列

数列\(\{a_n\}\)收敛的充分必要条件是：对于任意的正数\(\varepsilon > 0\)，存在一个正整数\(N \in N^*\)， 使得当\(n > N\)时，对任意的正整数\(p\)都有\(|a_n - a_{n+p}| < \varepsilon\)成立。 这就是所谓的Cauchy收敛原理，数列\(\{a_n\}\)被称为基本列。

对Cauchy收敛原理的证明需要借助列紧性定理(Bolzano-Weierstras定理)，它们都是实数系统连续性的一种体现。稍后我们会给出详细的证明。

【82】利用柯西准则证明数列\(x_n = a_0 + a_1 \cdot q + \cdots + a_n \cdot q^n, 其中|a_k| < M(k = 0,1,2,\cdots), |q| < 1\)

证：因为\(|a_k| < M(k = 0,1,2,\cdots)\)，所以\(\forall p \in N^*, |x_n - x_{n+p}| = |a_{n+1} \cdot q^{n+1} + \cdots + a_{n+p} \cdot q^{n+p}| < |M \cdot q^n \cdot \left(\frac{1}{1-q}\right)| < |M \cdot q^n|\)

又因为\(|q| < 1\)，根据数列极限的概念的【L2】有 \(\forall \varepsilon > 0, \exists N \in N^*, 使得n > N时,|M \cdot q^n| < \varepsilon总成立\)。

所以，\(\forall \varepsilon > 0, \exists N \in N^*, 使得n > N时,\forall p \in N^*有|a_n - a_{n+p}| < \varepsilon总成立\)。 数列\(\{x_n\}\)收敛。口

【83】证明\(x_n = \frac{\sin{1}}{2} + \frac{\sin{2}}{2^2} + \cdots + \frac{\sin{n}}{2^n}\)收敛

证：因为\(|\sin{n}| < 1, \frac{1}{2} < 1\), 参考【82】的证明，令\(M = 1, q = \frac{1}{2}\)，就可以证明数列\(\{x_n\}\)为基本列。口

【84】证明\(x_n = \frac{\cos{1!}}{1\cdot 2} + \frac{\cos{2!}}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{\cos{n!}}{n(n+1)}\)收敛

证：\(\forall p \in N^*\)有， $$ \begin{align} |a_n-a_{n+p}| & = \left|\frac{\cos{(n+1)!}}{(n+1)(n+2)}+\frac{\cos{(n+2)!}}{(n+2)(n+3)}+\cdots+\frac{\cos{(n+p)!}}{(n+p)(n+p+1)}\right| \\ & < \left|\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\cdots+\frac{1}{(n+p)(n+p+1)}\right| \\ & = \left|\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} + \cdots + \frac{1}{n+p} - \frac{1}{n+p+1} \right| \\ & = \left|\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+p+1}\right| \\ & < \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+p+1} \end{align} $$ 因为\(\forall \varepsilon > 0\)，都有正整数\(N >\lceil\frac{2}{\varepsilon}\rceil\)， 使得\(|\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+p+1}| < \frac{\varepsilon}{2} +\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\)，所以\(\{x_n\}\)收敛。

【85】证明\(x_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\)

证：\(\forall p \in N^*\)有， $$ \begin{align} |a_n - a_{n+p}| & = \left|\frac{1}{(n+1)^2} + \cdots + \frac{1}{(n+p)^2}\right| \\ & < \left|\frac{1}{n(n+1)} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)(n+p)}\right| \\ & = \left|\frac{1}{n} - \frac{1}{n+p}\right| \end{align} $$ 因为\(\forall \varepsilon > 0\)，都有正整数\(N >\lceil\frac{2}{\varepsilon}\rceil\)， 使得\(|\frac{1}{n} - \frac{1}{n+p}| < \frac{\varepsilon}{2} +\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\)，所以\(\{x_n\}\)收敛。

【86】对于数列\(x_n\)，若存在数c，使得 $$ |x_2 - x_1| + |x_3 - x_2| + \cdots + |x_n - x_{n-1}| < c $$ 则称数列\(x_n\)有有界变差。证明凡有有界变差的数列是收敛的。

证：(1). 令\(y_n = |x_n - x_{n-1}|\)，显然数列\(\{y_n\}\)是单调有界的，所以\(\{y_n\}\)收敛。 根据Cauchy收敛准则有： $$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in N^*, 使得n > N时， \forall p \in N^*, |y_n - y_{n+p}| = |x_{n+1} - x_n| + \cdots + |x_{n+p} - x_{n+p-1}| < \varepsilon$$ 而 $$ \begin{align} |x_n - x_{n+p}| & = |x_n - x_{n+1} + x_{n+1} - x_{n+2} + \cdots + x_{n+p-1} - x_{n+p}| \\ & < |x_n - x_{n+1}| + |x_{n+1} - x_{n+2}| + \cdots + |x_{n+p-1} - x_{n+p}| \\ & < \varepsilon \end{align} $$ 所以，凡有有界变差的数列都是收敛的。

【87】试描述某数列不满足柯西准则的含义

解：\(\forall N \in N^*, \exists \varepsilon > 0, 当n > N时，\exists p \in N^*, 使得|a_n - a_{n+p}| > \varepsilon\)

【88】证明数列\(x_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\)发散

证：\(\forall N \in N^*\)，当\(n > N\)时，有\(p = n\)使得： $$ |a_n - a_{n+p}| = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} > \frac{n}{2n} = \frac{1}{2} $$ 所以数列\(\{x_n\}\)发散。

【92】设\(x_n \to a\)，求极限\(\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}\)

解：当\(a \neq 0\)时，有 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\lim_{n\to\infty}x_{n+1}}{\lim_{n\to\infty}x_n} = \frac{a}{a} = 1 $$ 当\(a = 0\)时，数列不一定收敛，例如数列\(1,1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^2}, \cdots \) 显然\(n \to \infty\)时收敛于0，但对于数列\(\frac{x_{n+1}}{x_n}\)，其奇数项构成的子列收敛于1，偶数项子列则收敛于\(\frac{1}{2}\)，所以发散。

可以证明\(a=0\)时，若极限\(\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}\)存在，则一定在区间\([-1,1]\)之间。利用反证法，假设其极限为\(b\)，并且\(|b| > 1\)， 那么一定存在一个正数\(r\)满足\(1 < r < |b|\)。根据【J91】， 我们知道\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right| = |b|\)，所以当\(n > N\)时有： $$ |x_n| = |x_N| \cdot \frac{|x_{N+1}|}{x_{N}} \cdot \frac{|x_{N+2}|}{|x_{N+1}|} \cdots \frac{|x_n|}{|x_{n-1}|} > |x_N| \cdot r^{n-N} $$ 当\(n\to\infty\)时，有\(|x_N| \cdot r^{n-N} \to \infty\)，即\(|x_n|\)发散与【J91】矛盾。

综上所述，\(a \neq 0\)时\(\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n} = 1\)，\(a = 0\)时极限不一定存在，但若极限存在则一定在区间\([-1,1]\)中。