振动MEMS陀螺原理与构造

常见的MEMS陀螺大多都是振动陀螺，通过检测科氏力来测量输入角速度。在一个旋转系统中，有一个质点相对于旋转坐标系做直线运动，那么该质点除了受万有引力和向心力之外，还存在一个垂直于系统转轴和相对运动方向的加速度。这就是所谓的科里奥利效应，该加速度称为科氏加速度，所对应的惯性力称为科氏力。

MEMS陀螺大体上可以看作是由基础质量块、驱动模式下的振荡器、和感应模式下的检测器三个部分构成的。质量块在振荡器的驱动下进行振动，为了方便计算和实现，振荡器的驱动信号通常是一个正线信号，并且驱动频率与振荡器的共振频率相同。当系统以一定角速度转动的时候，就会在感应方向上产生科氏力，通过检测器的感应电极进行测量。

振动的方式可以有线振动和旋转振动两种不同的形式，科氏力也分别以线振动和旋转振动两种形式存在。对于线振动系统，我们可以通过动量守恒来描述驱动模态到感应模态的能量转移。对于旋转振动系统，则通过角动量守恒来描述这种能量转移。根据振动结构的不同，MEMS陀螺还有振动梁结构、振动音叉结构、旋转盘结构、共振环结构等等，不同的形式。它们的工作原理也各不相同，但归根到底还是来测量科氏力来推导感应轴的旋转角速度的。

本文以单轴二自由度的线振动陀螺仪为例介绍振动MEMS陀螺的基本原理。

1. 系绳模型与动力学方程

如下图1(a)所示，对于一个单轴的MEMS陀螺，我们在$X$方向上通过驱动电极(drive electrodes)施加一个正弦驱动电信号，驱使质量块振动。在$Y$方向上通过测量电极(sense electrodes)来测量科氏力。为了便于分析，我们可以将这一系统简化为质量块-弹簧-阻尼系统，如图1(b)所示。在该系统中，我们可以检测$Z$轴(垂直纸面向外$\odot$)上的旋转运动。


图 1(a)MEMS陀螺结构示意图。	图 1(b)MEMS陀螺的系绳模型。	图 1(c)单轴二自由度陀螺结构。

我们关注质量块在惯性坐标系下的位置，假设该系绳系统在惯性空间下的位置矢量为$\vec{R}_A$，角度为$\theta$，质量块$m$相对于系绳系统坐标系的位置矢量为$\vec{r}_B$。其中下角标$A,B$分别表示惯性坐标系，和系绳系统的相对坐标系。那么$m$在$A$系下的位置矢量可以表示为：

$$ \begin{equation}\label{f1} \vec{r}_A = \vec{R}_A + \vec{r}_B \end{equation} $$

对于位置坐标求取两次时间导数，就可以得到$m$的速度和加速度：

$$ \begin{equation}\label{f2} \dot{\vec{r}}_A = \dot{\vec{R}}_A + \dot{\vec{r}}_B + \dot{\theta} \times \vec{r}_B \end{equation} $$ $$ \begin{equation}\label{f3} \ddot{\vec{r}}_A = \ddot{\vec{R}}_A + \ddot{\vec{r}}_B + \dot{\theta} \times \dot{\vec{r}}_B + \ddot{\theta} \times \vec{r}_B + \dot{\theta} \times\left(\dot{\vec{r}}_B + \dot{\theta} \times \vec{r}_B\right) \end{equation} $$

令$\vec{\Omega} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dot{\theta} \end{bmatrix}^T$表示$B$系的转动角速度， $\vec{A}_A = \ddot{\vec{R}}_A$表示$B$系的加速度。$\vec{v}_B = \dot{\vec{r}}_B, \vec{a}_B = \ddot{\vec{r}}_B$分别为质块$m$相对于$B$系的速度和加速度矢量。那么式($\ref{f3}$)可以写为：

$$ \begin{equation}\label{f4} \ddot{\vec{r}}_A = \left[\vec{A}_A + \vec{a}_B + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{r}_B \right] + \vec{\Omega} \times \left(\vec{\Omega} \times \vec{r}_B\right) + 2\vec{\Omega} \times \vec{v}_B \end{equation} $$

在一些资料中，将上式中的$\left[\vec{A}_A + \vec{a}_B + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{r}_B \right]$称为当地加速度。 $\vec{\Omega} \times \left(\vec{\Omega} \times \vec{r}_B\right)$则是向心加速度，最后一项$2\vec{\Omega} \times \vec{v}_B$就是所谓的科氏加速度，它是一个垂直于转轴$Z$和振动方向$X$的加速度，即$Y$轴方向的一个加速度。

根据牛顿第二定律和系绳模型的质块-弹簧-阻尼系统，有动力学方程：

$$ \begin{equation}\label{f5} \vec{F} = m \left[\vec{A}_A + \vec{a}_B + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{r}_B + \vec{\Omega} \times \left(\vec{\Omega} \times \vec{r}_B\right) + 2\vec{\Omega} \times \vec{v}_B\right] \end{equation} $$

上式中$\vec{F}$为质块$m$所受的合外力。我们对其在$X$轴和$Y$轴上进行分解，有：

$$ \begin{equation}\label{f6} f_x = m\ddot{x} + c_x \dot{x} + k_x x \end{equation} $$ $$ \begin{equation}\label{f7} -2m\Omega \dot{x} = m\ddot{y} + c_y \dot{y} + k_y y \end{equation} $$

其中，$f_x$为$X$轴的驱动力，$c_x, k_x, c_y, k_y$分别为驱动方向($X$轴)和感应方向($Y$轴)上的阻尼和刚度。$m$是质块的质量，标量$\Omega = \dot{\theta}$是矢量$\vec{\Omega}$在$Z$轴上的分量。

2. 共振特性与模态匹配

对于式($\ref{f6}$)，令$\omega_n = \sqrt{\cfrac{k_x}{m}}$表示振荡器的固有频率，$\tau = \cfrac{c_x}{2m\omega_n}$记为振荡器的阻尼系数，那么式($\ref{f6}$)可以改写为：

$$ \begin{equation}\label{f8} \cfrac{f_x}{m} = \ddot{x} + 2\tau \omega \dot{x} + \omega_n^2 x \end{equation} $$

如果驱动力$f_x$是一个正弦信号$f_x = f_0\sin \left(\omega t \right)$，那么驱动方向的位移响应也是一个正弦信号$x = x_0\sin\left(\omega t + \phi\right)$，其中：

$$ \begin{equation}\label{f9} x_0 = \cfrac{f_0}{k_x \sqrt{\left[1 - \left(\cfrac{\omega}{\omega_n}\right)^2 \right]^2 + \left[2\tau \cfrac{\omega}{\omega_n}\right]^2}}, \phi = -\arctan \cfrac{2\tau \cfrac{\omega}{\omega_n}}{1 - \left(\cfrac{\omega}{\omega_n}\right)^2} \end{equation} $$

驱动方向的速度为$\dot{x} = x_0 \omega \cos\left(\omega t + \phi\right)$，加速度为$\ddot{x} = -x_0 \omega^2 \sin\left(\omega t + \phi\right)$。可以看出，当驱动力的频率与振荡器的固有频率一致的时候，即$\omega = \omega_n$，驱动方向上的位移、速度和加速度都将达到最大的振幅$x_0 = \cfrac{f_0}{k_x · 2\tau}$。也就是所谓的共振的现象。我们一般把$\omega_n$的0.71倍所对应的频段称为共振区，在共振区内我们总能够观测到系统的剧烈振动。通常用品质因子$Q = \cfrac{1}{2\tau}$来表示共振的强烈程度，用阻尼系数$2\tau \omega_n$来表示带宽。

相应的，对于式($\ref{f7}$)，令$\omega_s = \sqrt{\cfrac{k_y}{m}}$表示检测器的固有频率，$\tau_s = \cfrac{c_y}{2m \omega_s}$表示检测器的阻尼系数。那么式($\ref{f7}$)可以写为：

$$ \begin{equation}\label{f10} -2\Omega x_0 \omega \cos\left(\omega t + \phi\right) = \ddot{y} + 2\tau_s \omega_s \dot{y} + \omega_s^2 y \end{equation} $$

显然感应方向上的位移响应也是一个简谐运动，其时域函数为$y = y_0\sin\left(\omega t + \phi_s\right)$。其中：

$$ \begin{equation}{\label{f11}} y_0 = \cfrac{2\Omega x_0 \omega}{k_y\sqrt{\left[1 - \left(\cfrac{\omega}{\omega_s}\right)^2 \right]^2 + \left[2\tau_s \cfrac{\omega}{\omega_s}\right]^2}}, \phi_s = -\arctan \cfrac{2\tau_s \cfrac{\omega}{\omega_s}}{1 - \left(\cfrac{\omega}{\omega_s}\right)^2} + \phi \end{equation} $$

从上述分析中，我们可以得出结论：提高驱动简谐力的振幅$f_0$，增强振荡器和检测器的品质因子$Q = \cfrac{\sqrt{mk_x}}{c_x}, Q_s = \cfrac{\sqrt{mk_y}}{c_y}$，可以增大感应器的共振幅值，进而提高陀螺的灵敏度。理论上，当振荡器和检测器的固有频率一致时，系统共振所产生的科氏力响应将达到最大。

提高驱动简谐力的振幅$f_0$很容易做到，只需要提高驱动功率就可以。提高品质因子可以从两个方面入手，一方面提高支撑结构的刚度，即增大$k_x, k_y$，另一方面降低系统阻尼，即减小$c_x, c_y$。提高支撑结构的刚度与材料和悬挂构件的厚度有关，而系统阻尼很大程度上来自于工作环境的空气阻尼，可以使用真空包装来降低。可以看到，品质因子的提高直接与生产工艺相关，真空包装还会增加生产成本。

品质因子的提高意味着共振带宽的降低。下图是共振频率为10kHz，品质因子分别为$10^3$和$10^4$的幅频曲线。图2(a)所示品质因子为$10^3$的曲线中，我们可以看出当偏离共振频率5Hz，振幅增益下降了29%；偏离10Hz的时候，振幅增益才下降了55%。相比于图2(b)而言，品质因子放大了10倍，当偏离5Hz的时候，增益就下降了90%。


图 2(a)$Q = 10^3$的幅频曲线。	图 2(b)$Q = 10^4$的幅频曲线。	图 2(c)振荡器和感应器的幅频相频曲线。其中绿色为振荡器的响应曲线，蓝色为感应器的响应曲线。

所以品质因子过大并不是一件很好的事情。生产工艺总是存在误差的，将导致实际的固有频率与设计值之间存在差异。品质因子过大，带宽太小对于这种细微的误差就十分敏感。工作环境中的湿度、温度、压力等不确定性的因素也会对共振频率产生影响。我们很难精确的控制振荡器和检测器的频率一致匹配，所以在传感器设计的时候，就会尽量避开共振峰值。如上图2(c)所示，一般都会让振荡器的共振峰值分布在感应器上相对平缓的部分。

3. 总结

本文中，我们以单轴二自由度的线振动陀螺仪为例介绍了振动MEMS陀螺的基本原理。MEMS陀螺大体上可以看作是由基础质量块、驱动模式下的振荡器、和感应模式下的检测器三个部分构成的。振荡器在质量块上施加一个简谐震荡的驱动力，驱使质量块简谐震动。当系统以一定角速度转动的时候，就会在感应方向上产生科氏力，驱使质量块在感应方向上也产生振动。通过检测器的感应电极测量感应振动的振幅，就可以计算得到角速度。

为了提高传感器的灵敏度，我们可以通过调整驱动力幅值，品质因子两个方面实现。品质因子的提高意味着共振带宽的降低，而且对生产工艺有更为苛刻的要求。一般设计会尽量避开共振峰值，将振动器的固有频率与检测器的固有频率之间错开一段距离。


图 2(a)\(Q = 10^3\)的幅频曲线。	图 2(b)\(Q = 10^4\)的幅频曲线。	图 2(c)振荡器和感应器的幅频相频曲线。其中绿色为振荡器的响应曲线，蓝色为感应器的响应曲线。