质心动力学
在研究质点系的动量、动能与动量矩的时候，我们同等的看待质点系中的每个质点， 把它们的受力分为内力和外力两种，通过分析质点系内部相互作用的一些特点，得到质点系的动量守恒、机械能守恒、动量矩守恒的条件。 但这样我们就需要研究每一个质点的运动，分别计算它们的动量、机械能以及动量矩，才能写出相应的守恒方程来。这个过程仍然比较繁琐， 那么是不是可以像质点的复合运动那样，找到一个参考点可以代表质点系的整体运动， 再来分析各个质点相对于该参考点的运动呢？
质心就是这样一个参考点，在本文中我们将看到质心的动量与质点系总动量相等，可以将它的运动看作是一个质点的运动，其质量是整个质点系的总质量，并且承载了质点系的所有外力。 由牛二定律直接得出的质点动力学的基本方程完全适用于质心的运动。
1. 质心的定义
假设质点系由\(n\)个质点组成，其中第\(i\)个质点的质量和位置矢量可以有二元组\(< m_i, \boldsymbol{r_i}>\)来表示。 那么该质点系的质心位置矢量\(\boldsymbol{r_c}\)就是这些质点位置矢量的加权平均：
$$ \begin{equation}\label{f1} \boldsymbol{r_c} = \cfrac{\sum_{i = 1}^n m_i \boldsymbol{r_i}}{\sum_{i = 1}^n m_i} \end{equation} $$对于质量连续分布的物体，我们可以用积分的形式定义质心位置：
$$ \begin{equation}\label{f2} \boldsymbol{r_c} = \cfrac{\int_V \rho(\boldsymbol{r})\boldsymbol{r} \mathrm{d}v}{\int_V \rho(\boldsymbol{r}) \mathrm{d}v} \end{equation} $$其中\(\rho(\boldsymbol{r})\)是\(\boldsymbol{r}\)处的质量密度，\(\mathrm{d}v\)是体积单元。
2. 质心运动定理
对于质点的定义式(\(\ref{f1}\))左右两端求导，可以得到质心的速度矢量\(\boldsymbol{v_c} = \dot{\boldsymbol{r_c}}\)：
$$ \begin{equation}\label{f3} \boldsymbol{v_c} = \cfrac{\sum_{i = 1}^n m_i \boldsymbol{v_i}}{\sum_{i = 1}^n m_i} \end{equation} $$上式中\(\boldsymbol{v_i} = \dot{\boldsymbol{r_i}}\)是各个质点的速度矢量。令\(M = \sum_{i = 1}^n m_i\)，则上式可以改写为：
$$ \begin{equation}\label{f4} M\boldsymbol{v_c} = \sum_{i = 1}^n m_i \boldsymbol{v_i} \end{equation} $$这正是质点系的动量\(\boldsymbol{p}\)，所以质点系的动量等于质点系总质量与质心速度矢量的乘积。 我们可以将质心看作是质量为\(M\)的位置矢量为\(\boldsymbol{r_c}\)的质点，该质点的动量相当于整个质点系的动量。 根据质点系的动量变化定理，我们有:
$$ \begin{equation}\label{f5} \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = M\boldsymbol{a_c} = \boldsymbol{F_{ext}} \end{equation} $$上式中，\(\boldsymbol{a_c} = \dot{\boldsymbol{v_c}}\)是质心的加速度矢量，\(\boldsymbol{F_{ext}}\)是质点系所有的合外力。 上式说明质点系总质量与质心加速度矢量的乘积正是作用在质点系上的合外力，称之为质心运动定理。这也是质点系动量定理的另一种描述形式。
3. 质心动能定理
如果我们以质心为参考点，创建一个跟随质心一起平动的坐标系， 那么质点系中第\(i\)个质点的位置矢量可以由质心位矢\(\boldsymbol{r_c}\)和相对于质心的位矢\(\boldsymbol{r_{i,c}}\)来描述：
$$ \begin{equation}\label{f6} \boldsymbol{r_i} = \boldsymbol{r_c} + \boldsymbol{r_{i,c}} \end{equation} $$根据质点的复合运动，可以得到速度关系：
$$ \begin{equation}\label{f7} \boldsymbol{v_i} = \boldsymbol{v_c} + \boldsymbol{v_{i,c}} \end{equation} $$因此第\(i\)个质点的动能可以写作：
$$ \begin{equation}\label{f8} \cfrac{1}{2}m_i\boldsymbol{v_i} \cdot \boldsymbol{v_i} = \cfrac{1}{2} m_i v_c^2 + \cfrac{1}{2} m_i v_{i,c}^2 + m_i \boldsymbol{v_c} \cdot \boldsymbol{v_{i,c}} \end{equation} $$又因为：
$$ \begin{array}{rcl} \sum_{i = 1}^n m_i\boldsymbol{v_{i,c}} & = & \sum_{i = 1}^n m_i \left(\boldsymbol{v_i} - \boldsymbol{v_c}\right) \\ & = & \sum_{i = 1}^n m_i \boldsymbol{v_i} - \boldsymbol{v_c}\sum_{i = 1}^n m_i \\ & = & 0 \end{array} $$所以质点系的总动能为：
$$ \begin{equation}\label{f9} E = \sum_{i = 1}^n \cfrac{1}{2} m_i v_i^2 = \cfrac{1}{2} M v_c^2 + \sum_{i = 1}^n \cfrac{1}{2} m_i v_{i,c}^2 \end{equation} $$上式中的第一项被称为质心动能，记作\(E_c\)。第二项为质点系相对于质心的动能，记作\(E_r\)。上式可以简化为：
$$ \begin{equation}\label{f10} E = E_c + E_r \end{equation} $$这就是所谓的质心动能定理：质点系的总动能等于将质量集中到质心处的质点动能与相对于跟随质心平移的坐标系的动能之和。
4. 质心动量矩定理
对于惯性坐标系中一点\(O\)，质点系的动量矩\(\boldsymbol{L_O}\)定义为各个质点相对于点\(O\)的动量矩的矢量和:
$$ \begin{equation}\label{f11} \boldsymbol{L_O} = \sum_{i = 1}^n \left(\boldsymbol{r_i} \times m_i\boldsymbol{v_i}\right) \end{equation} $$将式(\(\ref{f6}, \ref{f7}\))带入上式，有:
$$ \begin{equation}\label{f12} \begin{array}{rcl} \boldsymbol{L_O} & = & \sum \left(\left(\boldsymbol{r_c} + \boldsymbol{r_{i,c}}\right) \times m_i\left(\boldsymbol{v_c} + \boldsymbol{v_{i,c}}\right)\right) \\ & = & \boldsymbol{r_c} \times \left(\sum m_i\right) \boldsymbol{v_c} + \sum \left(\boldsymbol{r_{i,c}} \times m_i \boldsymbol{v_{i,c}} \right) + \boldsymbol{r_c} \times \sum m_i \boldsymbol{v_{i,c}} + \left(\sum m_i \boldsymbol{r_{i,c}} \right) \times \boldsymbol{v_c} \end{array} \end{equation} $$上式中后两项均为0，第一项称为质心动量矩，记为\(\boldsymbol{L_c}\)。第二项是质点系相对于质心位置的动量矩，记为\(\boldsymbol{L_{rc}}\)。上式可以简记为：
$$ \begin{equation}\label{f13} \boldsymbol{L_O} = \boldsymbol{L_c} + \boldsymbol{L_{rc}} \end{equation} $$这就是所谓的质心动量矩定理：质点系的总动量矩是质心动量矩与相对于质心动量矩的矢量和。 记\(\boldsymbol{M_c} = \boldsymbol{r_c} \times \sum \boldsymbol{F_i}\)， 为质点系合外力相对于质心产生的力矩，其中\(\boldsymbol{F_i}\)为第\(i\)个质点所受的外力。那么质心动量矩的时间变化率就是\(\boldsymbol{M_c}\)，形式化描述如下：
$$ \begin{equation}\label{f14} \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{L_c}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{M_c} \end{equation} $$对于质点系动量矩变换定理的一般形式，有：
$$ \begin{equation}\label{f15} \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{L_O}}{\mathrm{d}t} = \sum \left(\boldsymbol{r_i} \times \boldsymbol{F_i}\right) \end{equation} $$将式(\(\ref{f6}\))代入上式展开，有：
$$ \begin{equation}\label{f16} \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{L_c}}{\mathrm{d}t} + \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{L_{rc}}}{\mathrm{d}t}= \boldsymbol{r_c} \times \sum \boldsymbol{F_i} + \sum \left(\boldsymbol{r_{i,c}} \times \boldsymbol{F_i} \right) \end{equation} $$所以：
$$ \begin{equation}\label{f17} \cfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{L_{rc}}}{\mathrm{d}t} = \sum \left(\boldsymbol{r_{i,c}} \times \boldsymbol{F_i} \right) \end{equation} $$上式右边描述的是质点系的各个外力相对于质心的力矩的矢量和。这既是质点系相对质心的动量矩变化定理：该动量矩的时间变化率就是质点系所受外力相对于质心的总力矩。
5. 完
本文涉及的主要定理如下：
- 质心运动定理: 质点系总质量与质心加速度矢量的乘积正是作用在质点系上的合外力
- 质心动能定理: 质点系的总动能等于将质量集中到质心处的质点动能与相对于跟随质心平移的坐标系的动能之和
- 质心动量矩定理: 质点系的总动量矩是质心动量矩与相对于质心动量矩的矢量和
- 质点系相对质心的动量矩变化定理: 动量矩的时间变化率就是质点系所受外力相对于质心的总力矩