质点动力学的基本方程

质点动力学主要研究质点运动与所受外力的关系，主要是根据牛顿第二定律建立加速度与合外力的微分方程。研究的问题要么是已知运动求力，要么是已知力求运动，再或者是知道部分的运动形式和受力情况来分析另一部分未知的运动和受力。

基本上分析质点动力学问题都需要用到三件套：受力分析、明确坐标系、建立微分方程。这其实就是一个建模的过程，考虑的因素越多受力分析就越复杂，最后建立的微分方程或者说是模型也就越复杂，相应的模型也就显得越精确。而合理的坐标系选择可以在一定程度上降低分析问题的复杂度。实际的工程应用中，并不是考虑的因素越多越好，模型过于复杂也会给求解带来很多麻烦，所以通常都会做一些假设忽略掉一些次要因素，突出主要问题。

本文，我们从牛顿第二定律出发研究惯性系下的质点运动微分方程，再扩展到非惯性系下，研究质点相对运动的动力学基本方程。

1. 惯性系下的质点动力学分析

在惯性坐标系下，如果有一个质量为$m$的质点$M$，受到外力$\boldsymbol{F}_1, \boldsymbol{F}_2, \cdots, \boldsymbol{F}_n$作用，那么根据牛顿第二定律，可以写出矢量形式的微分方程：

$$ \begin{equation}\label{f1} m\ddot{\boldsymbol r} = \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{F}_i \end{equation} $$

根据质点运动学一文的分析，我们可以将矢量投影到直角坐标系的各个轴上，分别写出各轴的微分方程:

$$ \begin{equation}\label{f2} \begin{array}{rcl} m\ddot{x} & = & \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{F}_{i,x} \\ m\ddot{y} & = & \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{F}_{i,y} \\ m\ddot{z} & = & \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{F}_{i,z} \\ \end{array} \end{equation} $$

当已知质点的运动轨迹，就可以将式($\ref{f1}$)投影到自然坐标系下:

$$ \begin{equation}\label{f3} \begin{array}{rcl} m\ddot{s} & = & \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{F}_{i,t} \\ m\cfrac{\dot{s}^2}{\rho} & = & \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{F}_{i,n} \\ 0 & = & \sum_{i = 1}^n \boldsymbol{F}_{i,b} \\ \end{array} \end{equation} $$

上述这三个式子都很简洁，其中式($\ref{f2}$)和式($\ref{f3}$)式常用的质点运动微分方程的两种形式。牛顿定律只适用于惯性空间，而在复杂的机器人身上，我们经常需要在一个非惯性的参考系中分析问题。有必要研究一下在非惯性系下质点动力学的一些特性。

2. 非惯性系下的质点动力学分析

如右图所示，按照质点的复合运动的描述，有动坐标系$O^D$相对于静止坐标系$O^S$运动，其中$O^S$是一个惯性参考系，$O^D$则是一个非惯性参考系。现在我们考察动坐标系中一点$M$在作用力$\boldsymbol{F}$的作用下的微分方程。记$\boldsymbol{a}^S, \boldsymbol{a}^D$分别是质点$M$在$O^S, O^D$下的绝对加速度和相对加速度。根据质点的复合运动的结论，有：

$$ \boldsymbol{a^S} = \boldsymbol{a_e} + \boldsymbol{a_c} + \boldsymbol{a^D} $$

其中$\boldsymbol{a_e}, \boldsymbol{a_c}$分别是非惯性系的牵连加速度和科氏加速度。又，在惯性系$O^S$下，牛顿第二定律成立，所以有：

$$ m\boldsymbol{a^S} = \boldsymbol{F} $$

即：

$$ m\left(\boldsymbol{a_e} + \boldsymbol{a_c} + \boldsymbol{a^D}\right) = \boldsymbol{F} $$

有：

$$ m \boldsymbol{a^D} = \boldsymbol{F} - m\boldsymbol{a_e} - m\boldsymbol{a_c} $$

令，$\boldsymbol{F_e} = - m\boldsymbol{a_e}$为非惯性系的牵连惯性力，$\boldsymbol{F_c} = - m\boldsymbol{a_c}$为科里奥利力(科氏力)。那么非惯性系下的质点动力学微分方程可以写作：

$$ \begin{equation}\label{f4} m \boldsymbol{a^D} = \boldsymbol{F} + \boldsymbol{F_e} + \boldsymbol{F_c} \end{equation} $$

上式表明，在非惯性系下只需要添加牵连惯性力和科氏力两个补偿项就可以像在惯性系那样应用牛顿第二定律了。

当质点$M$相对非惯性系$O^D$保持相对静止时，有$\boldsymbol{a^D} = 0, \boldsymbol{v^D} = 0$，所以此时科氏力$\boldsymbol{F_c} = 0$。根据式($\ref{f4}$)，我们有质点相对静止的条件：

$$ \begin{equation}\label{f5} \boldsymbol{F} + \boldsymbol{F_e} = \boldsymbol{0} \end{equation} $$

当质点$M$相对非惯性系$O^D$做匀速直线运动的时候，$\boldsymbol{v^D} \neq 0$，所以此时科氏力$\boldsymbol{F_c} \neq 0$。我们称此状态为相对平衡，质点$M$处于该状态需满足条件：

$$ \begin{equation}\label{f6} \boldsymbol{F} + \boldsymbol{F_e} + \boldsymbol{F_c} = \boldsymbol{0} \end{equation} $$

3. 总结

在惯性坐标系下，一般我们通过受力分析得出质点所受的合外力，分析质点的运动学特性得到其加速度矢量，应用牛顿第二定律就可以写出质点运动的动力学微分方程。当有复合运动的情况存在时，我们只需要引入非惯性系的牵连惯性力和科氏力两个补偿项，就可以采用和惯性系一样的套路分析问题了。